Question

【題目】閱讀下列材料：

數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1，正方形為中，點(diǎn)、在對(duì)角線上，且，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

某學(xué)習(xí)小組的同學(xué)經(jīng)過(guò)思考，交流了自己的想法：

小明：“通過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)與存在某種數(shù)量關(guān)系”；

小強(qiáng)：“通過(guò)觀察和度量，發(fā)現(xiàn)圖1中線段與相等”；

小偉：“通過(guò)構(gòu)造（如圖2），證明三角形全等，進(jìn)而可以得到線段、、之間的數(shù)量關(guān)系”.

老師：“此題可以修改為‘正方形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，連接（如圖3）.如果給出、的數(shù)量關(guān)系與、的數(shù)量關(guān)系，那么可以求出的值”.

請(qǐng)回答：

（1）求證：；

（2）探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）若，，求的值（用含的代數(shù)式表示）.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），證明詳見解析；（3）

【解析】

(1)依題意由SAS可證：.可推

（2）過(guò)點(diǎn)作，且，連接、，由SAS可證

可得，可得.利用勾股定理即可知：.即.

（3）延長(zhǎng)至使，連接.設(shè)，，

則，，，，.由SAS可證，可得 ，，由角關(guān)系推出.

所以.推出，所以.得出結(jié)論.

（1）證明：∵四邊形為正方形，

∴，.

∵，

∴.

∴.

（2）結(jié)論：.

證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，且，連接、，

則，.

∵，，

∴

∴，.

∴.

∴.

即.

（3）解：延長(zhǎng)至使，連接.

設(shè)，，

則，，.

∵四邊形為正方形，

∴，，

，.

∴，

∴，，

.

∴.

∴.

∴.

∴.