Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于E，交直線DC于F。

（1）在圖1中證明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點（如圖2），討論線段DG與BD的數(shù)量關系。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD=DG．證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四邊形ABCD是平行四邊形，求證∠CEF=∠F即可；（2）根據(jù)∠ABC=90°，G是EF的中點可得△BEG≌△DCG，進而求出△DGB為等腰直角三角形，即可得出答案．

試題解析：（1）證明：如圖1，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，

∴∠CEF=∠F。

∴CE=CF。

（2）如圖2，

連接GC、BG，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD為矩形，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF=45°，

∵∠DCB=90°，DF∥AB，

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF為等腰直角三角形，

∵G為EF中點，

∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，

∴BE=DC，

∵∠CEF=∠GCF=45°，

∴∠BEG=∠DCG=135°

在△BEG與△DCG中，

，

∴△BEG≌△DCG（SAS），

∴BG=DG，

∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°，

又∵∠DGC=∠BGA，

∴∠BGE+∠DGE=90°，

∴△DGB為等腰直角三角形，

∴BD=DG．