Question

【題目】已知函數(shù)y=-x2+(m-1) x+m (m為常數(shù))，其頂點為M．

(1)請判斷該函數(shù)的圖像與x軸公共點的個數(shù)，并說明理由；

(2)當-2≤m≤3時，求該函數(shù)的圖像的頂點M縱坐標的取值范圍；

(3)在同一坐標系內(nèi)兩點A(-1，-1)、B(1，0)，△ABM的面積為S，當m為何值時，S的面積最小？并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】(1) 該函數(shù)的圖像與軸公共點的個數(shù)是1個或2個；(2) 當-2≤m≤3時，該函數(shù)圖像的頂點縱坐標的取值范圍是0≤y≤4；(3) 當時，面積有最小值

【解析】

(1)計算判別式△的大小，比較與0的大小關(guān)系，即可得到根的個數(shù)，進而得到函數(shù)的圖像與x軸公共點的個數(shù)；

(2)把函數(shù)的解析式化成頂點式，結(jié)合m的取值范圍，即可得到圖像的頂點M縱坐標的取值范圍；

(3) 列出關(guān)于△ABM的面積為S的表達式，求其根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值即可得到答案．

(1)由題意得：△=

∴該函數(shù)的圖像與軸公共點的個數(shù)是1個或2個 ；

(2)將y=-x2+(m-1) x+m化成頂點式得到

頂點的縱坐標是y=，

當m=-1時，y有最小值為0；

當m＜﹣1時，y隨m的增大而減小，

當m＞﹣1時，y隨m的增大而增大，

當m=-2時，y=0.25；

當m=3時，y=4，

則當-2≤m≤3時，該函數(shù)圖像的頂點縱坐標的取值范圍是0≤y≤4 ；

(3)根據(jù)題意，經(jīng)過點M、點A的直線斜率

經(jīng)過點M、點A的直線可表示為：

令可得直線與x軸交點橫坐標為

則△ABM的面積為

故當時，面積有最小值．