【題目】如圖,拋物線y=﹣+bx+c交x軸于點(diǎn)A(﹣2,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D是x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接CD,將線段CD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到DE,過點(diǎn)E作直線l⊥x軸,垂足為H,過點(diǎn)C作CF⊥l于F,連接DF.
(1)求拋物線解析式;
(2)若線段DE是CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,求線段DF的長(zhǎng);
(3)若線段DE是CD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90°得到,且點(diǎn)E恰好在拋物線上,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】(1) 拋物線解析式為y=﹣;(2) DF=3;(3) 點(diǎn)E的坐標(biāo)為E1(4,1)或E2(﹣ ,﹣)或E3( ,﹣)或E4(,﹣).
【解析】
(1)將點(diǎn)A、C坐標(biāo)代入拋物線解析式求解可得;
(2)證△COD≌△DHE得DH=OC,由CF⊥FH知四邊形OHFC是矩形,據(jù)此可得FH=OC=DH=3,利用勾股定理即可得出答案;
(3)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t,0),由(1)知△COD≌△DHE得DH=OC、EH=OD,再分CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況,表示出點(diǎn)E的坐標(biāo),代入拋物線求得t的值,從而得出答案.
(1)∵拋物線y=﹣+bx+c交x軸于點(diǎn)A(﹣2,0)、C(0,3),∴,解得:,∴拋物線解析式為y=﹣+x+3;
(2)如圖1.
∵∠CDE=90°,∠COD=∠DHE=90°,∴∠OCD+∠ODC=∠HDE+∠ODC,∴∠OCD=∠HDE.
又∵DC=DE,∴△COD≌△DHE,∴DH=OC.
又∵CF⊥FH,∴四邊形OHFC是矩形,∴FH=OC=DH=3,∴DF=3;
(3)如圖2,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t,0).
∵點(diǎn)E恰好在拋物線上,且EH=OD,∠DHE=90°,∴由(2)知,△COD≌△DHE,∴DH=OC,EH=OD,分兩種情況討論:
①當(dāng)CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t+3,t),代入拋物線y=﹣+x+3,得:﹣(t+3)2+(t+3)+3=t,解得:t=1或t=﹣,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)E1(4,1)或E2(﹣,﹣);
②當(dāng)CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(t﹣3,﹣t),代入拋物線y=﹣+x+3得:﹣(t﹣3)2+(t﹣3)+3=﹣t,解得:t=或t=.故點(diǎn)E的坐標(biāo)E3(,﹣)或E4(,﹣);
綜上所述:點(diǎn)E的坐標(biāo)為E1(4,1)或E2(﹣,﹣)或E3(,﹣)或E4(,﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的直角坐標(biāo)系中,解答下列問題.
(1)分別寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo):A ,B .
(2)△ABC的面積= ;點(diǎn)B到AC的距離= .
(3)畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1.
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【題目】如圖,已知半圓的直徑,在中,,,,半圓以的速度從左向右運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)、始終在直線上.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,當(dāng)時(shí),半圓在的左側(cè),.
當(dāng)為何值時(shí),的一邊所在直線與半圓所在的圓相切?
當(dāng)的一邊所在直線與半圓所在的圓相切時(shí),如果半圓與直線圍成的區(qū)域與三邊圍成的區(qū)域有重疊部分,求重疊部分的面積.
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【題目】如圖,已知AB∥CD,F(xiàn)為CD上一點(diǎn),∠EFD=60°,∠AEC=2∠CEF,若6°<∠BAE<15°,∠C的度數(shù)為整數(shù),則∠C的度數(shù)為_____.
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【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE是∠BAC的平分線,∠EAD=15°,∠B=40°.
(1)求∠C的度數(shù).
(2)若:∠EAD=α,∠B=β,其余條件不變,直接寫出用含α,β的式子表示∠C的度數(shù).
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【題目】拉桿箱是人們出行的常用品,采用拉桿箱可以讓人們出行更輕松.如圖,一直某種拉桿箱箱體長(zhǎng)AB=65cm,拉桿最大伸長(zhǎng)距離BC=35cm,在箱體底端裝有一圓形滾輪,當(dāng)拉桿拉到最長(zhǎng)時(shí),滾輪的圓心在圖中的A處,點(diǎn)A到地面的距離AD=3cm,當(dāng)拉桿全部縮進(jìn)箱體時(shí),滾輪圓心水平向右平移55cm到A′處,求拉桿把手C離地面的距離(假設(shè)C點(diǎn)的位置保持不變).
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【題目】已知函數(shù)y=x2﹣2mx+2016(m為常教)的圖象上有三點(diǎn):A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),其中x1=+m,x2=+m,x3=m﹣1,則y1、y2、y3的大小關(guān)系是( 。
A. y2<y3<y1 B. y3<y1<y2 C. y1<y2<y3 D. y1<y3<y2
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【題目】某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本是200元/件,售價(jià)是250元/件,年銷售量為10萬件.為了獲得更好的效益,公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每年投入的廣告費(fèi)用x萬元,產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍,且y與x之間滿足二次函數(shù)關(guān)系:y=﹣0.001x2+0.06x+1.
(1)如果把利潤(rùn)看作是銷售總額減去成本費(fèi)用和廣告費(fèi)用,試求出年利潤(rùn)S(萬元)與廣告費(fèi)用x(萬元)的函數(shù)關(guān)系式(無需自變量的取值范圍);
(2)如果公司年投入的廣告費(fèi)不低于10萬元且不高于50萬元,求年利潤(rùn)S的最大值;
(3)若公司希望年利潤(rùn)在776萬元到908萬元之間(含端點(diǎn)),請(qǐng)從節(jié)約支出的角度直接寫出廣告費(fèi)x的取值范圍.
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【題目】已知直角△ABC,∠BAC=90°,D是斜邊BC的中點(diǎn),E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn),且DE⊥DF連接EF
(1)如圖1,求證:∠BED=∠AFD;
(2)求證:BE2+CF2=EF2;
(3)如圖2,當(dāng)∠ABC=45°,若BE=12,CF=5,求△DEF的面積.
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