Question

在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解：
（1）16（6x-1）（2x-1）（3x+1）（x-1）+25=

（24x²-16x-3）²

．
（2）（6x-1）（2x-1）（3x-1）（x-1）+x²=

（6x²-6x+1）²

．
（3）（6x-1）（4x-1）（3x-1）（x-1）+9x⁴=

（9x²-7x+1）²

．

Answer 1

分析：（1）把16分解因數(shù)為2×2×4，分別乘入第二、三、四項，然后再第一二項相乘，第三四項相乘，利用整體思想根據(jù)多項式的乘法進行計算即可求解；
（2）先利用多項式的乘法運算法則把第一、四項相乘，第二、三項相乘，然后再整理成（6x²-6x+1-x）（6x²-6x+1+x）的形式，根據(jù)平方差公式計算后即可消掉x²項，從而得解；
（3）先利用多項式的乘法運算法則把第一、四項相乘，第二、三項相乘，再利用換元法，令t=6x²-7x+1，整理成關(guān)于t與x²的形式，然后根據(jù)完全平方公式分解因式，最后再把t換成6x²-7x+1即可得解．

解答：解：（1）16（6x-1）（2x-1）（3x+1）（x-1）+25，
=[（6x-1）（4x-2）][（6x+2）（4x-4）]+25，
=（24x²-16x+2）（24x²-16x-8）+25，
=（24x²-16x）²-6（24x²-16x）-16+25，
=（24x²-16x）²-6（24x²-16x）+9，
=（24x²-16x-3）²；

（2）（6x-1）（2x-1）（3x-1）（x-1）+x²，
=[（6x-1）（x-1）][（2x-1）（3x-1）]+x²，
=（6x²-7x+1）（6x²-5x+1）+x²，
=（6x²-6x+1-x）（6x²-6x+1+x）+x²，
=（6x²-6x+1）²-x²+x²，
=（6x²-6x+1）²；

（3）（6x-1）（4x-1）（3x-1）（x-1）+9x⁴，
=[（6x-1）（x-1）][（4x-1）（3x-1）]+9x⁴，
=（6x²-7x+1）（12x²-7x+1）+9x⁴，
令t=6x²-7x+1，則12x²-7x+1=t+6x²，
∴原式=t（t+6x²）+9x⁴，
=t²+6•t•x²+9x⁴，
=（t+3x²）²，
=（6x²-7x+1+3x²）²，
=（9x²-7x+1）²．

點評：本題考查了因式分解的應(yīng)用，都是利用了整體思想或者是換元法進行求解，根據(jù)系數(shù)的特點分組利用多項式的乘法整理成新的多項式的乘法運算是解題的關(guān)鍵，難度較大，計算時要認真仔細．