Question

已知拋物線y=ax2+bx+8(a＞

1

2

)，過點D（5，3），與x軸交于B（x₁，0）、C（x₂，0）兩點，且S_△ABC=3，過點D作直線l⊥CD與y軸交于點A，與x軸交于點E．
（1）求a、b的值；
（2）設(shè)BD與AC交于F，求AF：FC的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點D作DM⊥OE于點M，則DM∥AO，所以△DME∽△AOE，由三角形相似的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等可求出ME的長，再利用已知條件可求出BC的長，進而求出B的坐標(biāo)，再把B和D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可求出a和b的值；
（2）由（1）中的a=1，b=-6，所以拋物線的解析式可知，進而可得C的坐標(biāo)，所以直線BD的解析式、直線AC的解析式、直線l的解析式都可求出，再聯(lián)立直線AC和直線BD的解析式，可求出交點F的坐標(biāo)，進而可求出AF和FC的值，其比值即可求出．

解答：解：（1）過點D作DM⊥OE于點M，
∵點D（5，3），
∴OM=5，DM=3，
∵拋物線y=ax2+bx+8(a＞

1

2

)，與y軸交于點A，
∴AO=8，
∵DM∥AO，
∴△DME∽△AOE，
∴

DM

AO

=

ME

EO

，
∴

3

8

=

ME

ME+5

，
解得：ME=3，
∵DM=ME，
∴∠MDE=∠DEM=45°，
∵過點D作直線l⊥CD與y軸交于點A，
∴∠CDM=45°，
∴∠DCM=45°，
∴CM=DM=3，
∵S_△ABC=3，
∴

1

2

×8×BC=3，
解得：BC=

3

4

，
∴B點橫坐標(biāo)為：2，
∴B點坐標(biāo)為：（2，0），
將B，D點代入函數(shù)解析式得：

4a+2b+8=0 25a+5b+8=3

，
解得：

a=1 b=-6

，
∴a=1，b=-6；
（2）∵a=1，b=-6，
∴拋物線的解析式為：y=x²-6x+8，
∴B（2，0），C（4，0），
∵D（5，3），
∴直線BD為；y=x-2，直線CD為：y=3x-12，
∵直線l⊥CD，
∴直線l的解析式為：y=-

1

3

x+b，
把D（5，3）代入得：b=

14

3

，
∴直線l的解析式為：y=-

1

3

x+

14

3

，
∴A（0，

14

3

），
∴直線AC為：y=-

7

6

x+

14

3

，
解；

y=x-2 y=- 7 6 x+ 14 3

，得

x= 40 13 y= 14 13

，
∴F（

40

13

，

14

13

），
∴

AF

FC

=

14 3 - 14 13

14 13

=

10

3

．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)和一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點的問題以及兩條直線交點的問題、相似三角形的判定和性質(zhì)，題目的綜合性較強，難度不小，特別是對學(xué)生的計算能力要求很高，是一道不錯的中考壓軸題．