Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點．
（1）求證：△CDE∽△EAB；
（2）△CDE與△CEB有可能相似嗎？若相似，請給出證明過程；若不相似，請簡述理由．

Answer 1

（1）證明：過點C作CF⊥AB，垂足為F，如圖．
∵∠A=90°，∠CFB=90°，∴AD∥CF．
∵AB∥CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形．
又∵∠A=90°，∴平行四邊形AFCD是矩形．
∴AF=CD=1．
∴BF=AB-AF=AB-CD=2-1=1．
在Rt△CBF中，CF=====2，
．
∵E是AD的中點，，∴．
∵，，∴．
又∵∠CDE=∠EAB=90°，
∴△CDE∽△EAB．

（2）解：△CDE∽△CEB．
理由如下（本題方法很多，這里僅提供一種方法，其他方法請參照評分）．
在Rt△CDE中，，
在Rt△CBF中，．
∵，，，
∴．
∴△CDE∽△CEB．
分析：（1）過點C作CF⊥AB，垂足為F，由題意可得四邊形AFCD是矩形，從而可得到CD、AF、BF，CF、AD、DE的長，根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似可得到△CDE∽△EAB；
（2）利用勾股定理可求得CE、BE的長，利用三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似可得到△CDE∽△CEB．
點評：此題考查學(xué)生對相似三角形的判定方法的理解及運用能力，難易程度適中．