Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點P，過點B的直線交OP的延長線于點C，且CP=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為 ，OP=1，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，如圖，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP=90°，

∴∠A+∠APO=90°，

∵CP=CB，

∴∠CBP=∠CPB，

而∠CPB=∠APO，

∴∠APO=∠CBP，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：設(shè)BC=x，則PC=x，

在Rt△OBC中，OB= ，OC=CP+OP=x+1，

∵OB2+BC2=OC2，

∴（ ）2+x2=（x+1）2，

解得x=2，

即BC的長為2．

【解析】（1）首先依據(jù)垂直的定義可證明∠A+∠APO=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證明∠CBP=∠CPB，接下來，再依據(jù)根據(jù)對頂角相等得∠CPB=∠APO，然后可證明∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，最后，依據(jù)切線的判定定理進行證明即可；
（2）設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．