Question

如圖，BC為⊙O的直徑，以BC為直角邊作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜邊AB與⊙O交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E，DG⊥BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G．

（1）求證：AE=CE；

（2）若AD=4，AE=，求DG的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)CD，

∵BC為⊙O的直徑，∠ACB=90°，

∴AC是⊙O的切線.

又∵DE與⊙O相切，

∴ED=EC

∴∠1=∠3.

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°.

∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°,

∴∠A=∠2.

∴ED=EA.

∴AE=CE.

（2）解：∵AE=,

∴AC=2AE=．

在Rt△ACD中，

∴

∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°,

∴∠A=∠4.

∴

∴

∵DG⊥BC于點(diǎn)F，

∴DG=2DF=．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)CD，根據(jù)切線的判定可得AC是⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得ED=EC ，可得∠1=∠3，由BC為⊙O的直徑，可得∠BDC=90°，可推出∠A=∠2.，可得ED=EA，據(jù)此即可得出結(jié)論；（2）由（1）可求出AC的值，根據(jù)勾股定理可得CD的值，可得 ，根據(jù)DG⊥BC，可得DG=2DF，計(jì)算即可得出答案.

考點(diǎn)：圓周角定理；切線長(zhǎng)定理；切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；垂徑定理.