Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=AB，DM⊥DC交AB于點M，DF平分∠MDC交BC于點F，交MC于點E，連AE，以下說法：①BC-AD=AM；②∠ADM+∠AEM=45°；③若AD=3AM，則BF=

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AD．其中正確的是（　�。�

A．只有①②

B．只有①③

C．只有②③

D．①②③

Answer 1

分析：首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠ADM=∠CDG，進而得出△ADM≌△GDC，即可得出AM=GC，即可得出BC-AD=AM，再利用四點共圓的性質(zhì)得出∠DAE=∠DME=45°，即可得出∠ADM+∠AEM=45°不能確定，再利用AD=3AM，利用未知數(shù)表示出BG，BM，AM進而利用垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理得出BF的長即可．

解答：解；過點D作DG⊥BC于點G，
∵直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD=AB，
∴四邊形ABGD是正方形，
∵DM⊥DC，∠ADG=90°，
∴∠ADM=∠CDG，
∵在△ADM和△GDC中

∠MAD=∠CGD AD=DG ∠ADM=∠CDG

，
∴△ADM≌△GDC（ASA），
∴AM=GC，DM=CD，
∴①BC-AD=AM正確；
∵DF平分∠MDC交BC于點F，DM=DC，
∴∠DEM=∠DEC=90°
∴∠DAM+∠MED=180°
A，M，E，D四點共圓，
∴∠ADM=∠AEM，
∴∠DAE+∠DME=45°，
但是∠DAE無法得到是45°，
∴∠ADM+∠AEM=45°不能確定，故此選項錯誤；
連接MF，若AD=3AM，∴GC=

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BG，
設(shè)AM=x，則AD=BG=3x，MB=2x，BC=4x，
∵由以上可得出，DF垂直平分MC，
∴FC=MF，
設(shè)MF=FC=y，
∴BM ²+BF ²=MF ²，
∴（2x） ²+（4x-y） ²=y ²，
解得：y=2.5x，
∴BF=1.5x，
∴BF=

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AD，故此選項正確；
故選：B．

點評：此題主要考查了勾股定理以及垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定等知識，利用垂直平分線的性質(zhì)得出MF=FC是解題關(guān)鍵．