【題目】如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、D重合),PE⊥BC于點(diǎn)E,PF⊥CD于點(diǎn)F,連接EF給出下列五個(gè)結(jié)論:①AP=EF;②AP⊥EF;③僅有當(dāng)∠DAP=45°或67.5°時(shí),△APD是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP:⑤PD=EC.其中有正確有( )個(gè).
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
過(guò)P作PG⊥AB于點(diǎn)G,根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)及題中的已知條件,證明△AGP≌△FPE后即可證明①AP=EF;④∠PFE=∠BAP;在此基礎(chǔ)上,根據(jù)正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì),在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=EC,得出⑤正確,即可得出結(jié)論.
過(guò)P作PG⊥AB于點(diǎn)G,如圖所示:
∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),
∴GP=EP,
在△GPB中,∠GBP=45°,
∴∠GPB=45°,
∴GB=GP,
同理:PE=BE,
∵AB=BC=GF,
∴AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,
∴AG=PF,
在△AGP和△FPE中,
,
∴△AGP≌△FPE(SAS),
∴AP=EF,①正確,∠PFE=∠GAP,
∴∠PFE=∠BAP,④正確;
延長(zhǎng)AP到EF上于一點(diǎn)H,
∴∠PAG=∠PFH,
∵∠APG=∠FPH,
∴∠PHF=∠PGA=90°,
∴AP⊥EF,②正確,
∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn),∠ADP=45°,
∴當(dāng)∠PAD=45°或67.5°時(shí),△APD是等腰三角形,
除此之外,△APD不是等腰三角形,故③正確.
∵GF∥BC,
∴∠DPF=∠DBC,
又∵∠DPF=∠DBC=45°,
∴∠PDF=∠DPF=45°,
∴PF=EC,
∴在Rt△DPF中,DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,
∴DP=EC,
即PD=EC,⑤正確.
∴其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②③④⑤,共有5個(gè).
故選D.
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【題目】四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,給出下列四組條件:①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC。其中一定能判斷這個(gè)四邊形是平行四邊形的條件共有
A. 1組 B. 2組 C. 3組 D. 4組
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【題目】如圖,過(guò)矩形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ,那么圖中矩形AMKP的面積S1與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是S1_____S2;(填“>”或“<”或“=”)
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【題目】“年冬季越野賽”在濱河學(xué)校操場(chǎng)舉行,某運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)學(xué)校東門(mén)出發(fā),途徑濕地公園,沿比賽路線跑回終點(diǎn)學(xué)校東門(mén).沿該運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)起點(diǎn)的路程(千米)與跑步時(shí)間(時(shí)間)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,其中從起點(diǎn)到濕地公園的平均速度是千米/分鐘,用時(shí)分鐘,根據(jù)圖像提供的信息,解答下列問(wèn)題:
()求圖中的值;
()組委會(huì)在距離起點(diǎn)千米處設(shè)立一個(gè)拍攝點(diǎn),該運(yùn)動(dòng)員從第一次過(guò)點(diǎn)到第二次過(guò)點(diǎn)所用的時(shí)間為分鐘.
①求所在直線的函數(shù)解析式;
②該運(yùn)動(dòng)員跑完全程用時(shí)多少分鐘?
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【題目】畫(huà)圖并填空:如圖,方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.在方格紙內(nèi)將△ABC經(jīng)過(guò)一次平移后得到△A′B′C′,圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′.
(1)在給定方格紙中畫(huà)出平移后的△A′B′C′;
(2)畫(huà)出AB邊上的中線CD
(3)畫(huà)出BC邊上的高線AE
(4)點(diǎn)為方格紙上的格點(diǎn)(異于點(diǎn)),若,則圖中的格點(diǎn)共有 個(gè).
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【題目】如圖,正方形ABCD邊長(zhǎng)為3,連接AC,AE平分∠CAD,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,FA⊥AE,交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則EF的長(zhǎng)為__________.
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【題目】如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊三角形ADE,連接BE,CE.
(1)求證:BE=CE.
(2)求∠BEC的度數(shù)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中, , ∥軸, .
⑴.求點(diǎn)的坐標(biāo):
⑵.四邊形的面積四邊形;
⑶. 在軸上是否存在點(diǎn),使△ = 四邊形;若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,長(zhǎng)方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,8),B(1,6),C(7,6).
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)連接OB,OD,BD,請(qǐng)求出三角形OBD的面積.
(3)若長(zhǎng)方形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向下運(yùn)動(dòng),當(dāng)邊BC與x軸重合時(shí),停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,t為多少時(shí),三角形OBD的面積等于長(zhǎng)方形ABCD的面積的?
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