Question

如圖，AB=AC，點O在AB上，⊙O過點B，分別與BC、AB交于D、E，過D作DF⊥AC于F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若AC與⊙O相切于點G，⊙O的半徑為3，CF=1，求AC長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
則DF為圓O的切線；

（2）解：連接OG，
∵AC與圓O相切，
∴OG⊥AC，
∴∠OGF=∠GFD=∠ODF=90°，且OG=OD，
∴四邊形ODFG為邊長為3的正方形，
設(shè)AB=AC=x，則有AG=x-3-1=x-4，AO=x-3，
在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO²=AG²+OG²，即（x-3）²=（x-4）²+3²，
解得：x=8，
則AC=8．
分析：（1）連接OD，由AB=AC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OB=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到OD與AC平行，根據(jù)DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可確定出DF為圓O的切線；
（2）連接OG，由AC為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OG垂直于AC，利用三個角為直角且鄰邊相等的四邊形為正方形得到ODFG為正方形，且邊長為3，設(shè)AB=AC=x，表示出OA與AG，在直角三角形AOG中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AC的長．
點評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．