Question

12．如圖，直線l與雙曲線$y=\frac{k}{x}$的一支相交于A、B兩點，l與x軸相交于點D，C為線段OD中點，△OAC與△BCD分別是以O(shè)C、CD為底的等腰三角形，且S_△OAC+S_△BCD=2，則k=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 作AE⊥x軸于點E，作BF⊥x軸于點F，則△BDF∽△ADE，設(shè)A的橫坐標是m，縱坐標是n，則mn=k，B坐標可以利用m、n表示，則利用m和n表示出△OAC和△BCD的面積，然后根據(jù)S_△OAC+S_△BCD=2，得到一個關(guān)于k的方程，從而求解．

解答 解：作AE⊥x軸于點E，作BF⊥x軸于點F．
∵AO=AC，BC=BD，
∴OE=EC，CF=FD，
又∵OC=CD，
∴OE=EC=CF=FD．
∵AE⊥x，BF⊥x，
∴AE∥BF，
∴△BDF∽△ADE，
∴$\frac{BF}{AE}$=$\frac{FD}{DE}$=$\frac{1}{3}$，即BF=$\frac{1}{3}$AE．
設(shè)A的橫坐標是m，縱坐標是n，則mn=k，B的橫坐標3m，縱坐標是$\frac{1}{3}$n．
則S_△OAC=$\frac{1}{2}$×2mn=mn=k．S_△BCD=$\frac{1}{2}$×2m×$\frac{1}{3}$n=$\frac{1}{3}$mn=$\frac{1}{3}$k．
∵S_△OAC+S_△BCD=2，
∴k+$\frac{1}{3}$k=2，
解得：k=$\frac{3}{2}$．
故答案是：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用k表示出△OAC和△BCD的面積是關(guān)鍵．