Question

17．如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，AC＜BC，點D為AB的中點，過點D作BC的垂線，垂足為點F，過點A、C、D作⊙O交BC于點E，連接CD、DE．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若AC=3，BC=9，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）連接DO并延長交AC于M，證出$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，由垂徑定理得出DM⊥AC，證出DM∥BC，由已知得出DF⊥DO，即可得出DF為⊙O的切線；
（2）由（1）得出DF=$\frac{1}{2}$AC=1.5，CF=BF=$\frac{1}{2}$BC=4.5，作ON⊥CE于N，連接OA，由垂徑定理得出CN=EN=$\frac{1}{2}$CE，AM=CM=ON=DF=1.5，設⊙O的半徑為r，在△AOM中，由勾股定理求出半徑，得出CN=EN=OM=2，CE=4，求出EF=4.5-4=0.5，再由勾股定理求出DE即可．

解答 （1）證明：連接DO并延長交AC于M，如圖1所示：
∵∠ACB=90°，AC＜BC，點D為AB的中點，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴DM⊥AC，
∴DM∥BC，
∵DF⊥BC，
∴DF⊥DO，
∴DF為⊙O的切線；
（2）解：由（1）得：AC∥DF，
∵點D為AB的中點，
∴DF=$\frac{1}{2}$AC=1.5，CF=BF=$\frac{1}{2}$BC=4.5，
作ON⊥CE于N，連接OA，如圖2所示：
則CN=EN=$\frac{1}{2}$CE，AM=CM=ON=DF=1.5，
設⊙O的半徑為r，
在△AOM中，由勾股定理得：1.5²+（4.5-r）²=r²，
解得：r=2.5，
∴CN=EN=OM=4.5-2.5=2，
∴CE=4，
∴EF=4.5-4=0.5，
∴DE=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{0．{5}^{2}+1．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理，垂徑定理等知識；熟練掌握切線的判定，由勾股定理求出半徑是解決問題（2）的關(guān)鍵．