Question

（2013•平陽(yáng)縣二模）在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)B從點(diǎn)O出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B到達(dá)A點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，以BC為邊在右側(cè)作正方形BCDE．連接OE交BC于點(diǎn)F，連接AE并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)G，連接FG．設(shè)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）直接寫(xiě)出正方形BCDE的邊長(zhǎng)：

3

5

t

（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）用含t的代數(shù)式表示△OAG的面積S；
（3）當(dāng)△OBE∽△OEA時(shí)（點(diǎn)E與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)O與點(diǎn)O對(duì)應(yīng)），t的值是多少？，
（4）若M是點(diǎn)E關(guān)于直線FG的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，是否存在t的值，使得四邊形EFMG是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用A點(diǎn)坐標(biāo)得出

BC

BO

=

3

5

，進(jìn)而求出即可；
（2）利用BE∥OG，則△ABE∽△AOG，得出

BE

OG

=

AB

AO

，進(jìn)而得出OG的長(zhǎng)，即可得出答案；
（3）當(dāng)△OBE∽△OEA時(shí)，則

OB

OE

=

OE

OA

，求出OE²=OB•OA=5t，進(jìn)而利用勾股定理得出t的值；
（4）首先證明Rt△BEF≌Rt△DEG（HL），進(jìn)而證明△FBE∽△EDO，則

BF

DE

=

BE

OD

，再利用DG=OD-OG或DG=OG-OD求出t的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），OB=t，
∴

BC

BO

=

3

5

，
∴BC=

3

5

t，
即正方形BCDE的邊長(zhǎng)：

3

5

t （用含t的代數(shù)式表示）；
故答案為：

3

5

t；

（2）∵BE∥OG，
∴△ABE∽△AOG，
∴

BE

OG

=

AB

AO

，即

3 5 t

OG

=

5-t

5

，
∴OG=

3t

5-t

∴S△AOG=

1

2

×

3t

5-t

×3=

9t

10-2t

；

（3）當(dāng)△OBE∽△OEA時(shí)，
∴

OB

OE

=

OE

OA

，
∴OE²=OB•OA=5t，
∵Rt△ODE中，OE²=OD²+DE²=(

4

5

t+

3

5

t)2+(

3

5

t)2=

58

25

t2
∴5t=

58

25

t2，
∴t₁=0（舍去），t₂=

125

58

；

（4）∵M(jìn)是點(diǎn)E關(guān)于直線FG的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴EF=MF，EG=MG
若四邊形EFMG是平行四邊形，則平行四邊形EFMG是菱形，EF=EG，
在Rt△BEF和Rt△DEG中，

EF=EG BE=DE

，
∴Rt△BEF≌Rt△DEG（HL），
∴DG=BF，
∵BE∥CO，
∴∠BEF=∠COE，
∵∠EBF=∠ODE，
∴△FBE∽△EDO，
∴

BF

DE

=

BE

OD

即

BF

3 5 t

=

3 5 t

7 5 t

=

3

7

，
∴BF=

9

35

t=DG，
①如原圖，DG=OD-OG=

7

5

t-

3t

5-t

=

9

35

t，
∴解得：t=

19

8

②如備用圖，DG=OG-OD=

3t

5-t

-

7

5

t=

9

35

t，
∴解得：t=

185

58

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似形綜合應(yīng)用以及菱形的判定、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．