Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD=2，CD=4，tanB=

4

3

．點P在AB上，PM⊥BC于點M，PN⊥CD于點N，若點P從點B開始沿BA向點A運動，
（1）求AB的長度；
（2）設BP=x，用含x的代數(shù)式表示矩形CMPN的面積S．
（3）當點P移動到何位置時，矩形CMPN的面積S取最大值，并求最大值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,梯形

專題：

分析：（1）作AE⊥BC于點E，根據(jù)正切的定義，即可求得AE和BE的值，然后利用勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)（1）的解法，利用x表示出PM和CM的長，即可得到函數(shù)解析式；
（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）作AE⊥BC于點E．
則BE=BC-AD=4-2=2，
∵tanB=

4

3

，
∴設PM=4y，則BM=3y，則BP=5y．
當AE=CD=4時，4y=4，
則y=1，
則AB=5y=5，BE=3；
（2）BC=AD+BE=2+3=5．
設BP=x，即5y=x，解得：y=

1

5

x，PM=

4

5

x，BM=

3

5

x，
則CM=5-

3

5

x，
則S=

4

5

x（5-

3

5

x），即S=-

12

25

x²+4x；
（3）當x=-

b

2a

=-

4

- 24 25

=

25

6

，則S_最大=-

12

25

×（

25

6

）²+4×

25

6

=

25

3

．

點評：本題是二次函數(shù)的性質(zhì)與直角梯形的應用，以及三角函數(shù)的定義，正確求得直角△BPM中的三邊之間的關(guān)系是關(guān)鍵．