Question

如圖，在矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線y=-

4

9

x²+bx+c經(jīng)過點A、C，與AB交于點D．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m，△CPQ的面積為S．
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達式；
②當S最大時，在拋物線y=-

4

9

x²+bx+c的對稱軸l上，若存在點F，使△DFQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線y=-

4

9

x²+bx+c，即可求得拋物線的解析式；
（2）①先用m表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關(guān)于m的函數(shù)；
②直接寫出滿足條件的F點的坐標即可，注意不要漏寫．

解答：解：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線，得

c=8 - 4 9 ×36+6b+c=0

，
解得：

b= 4 3 c=8

，
∴拋物線的解析式為y=-

4

9

x²+

4

3

x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6，
∴AC=

OA2+OC2

=10，
過點Q作QE⊥BC與E點，則sin∠ACB=

QE

QC

=

AB

AC

=

3

5

，
∴

QE

10-m

=

3

5

，
∴QE=

3

5

（10-m），
∴S=

1

2

•CP•QE=

1

2

m×

3

5

（10-m）=-

3

10

m²+3m；

②∵S=

1

2

•CP•QE=

1

2

m×

3

5

（10-m）=-

3

10

m²+3m=-

3

10

（m-5）²+

15

2

，
∴當m=5時，S取最大值；
在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，
∵拋物線的解析式為y=-

4

9

x²+

4

3

x+8的對稱軸為x=

3

2

，
D的坐標為（3，8），Q（3，4），
當∠FDQ=90°時，F(xiàn)₁（

3

2

，8），
當∠FQD=90°時，則F₂（

3

2

，4），
當∠DFQ=90°時，設F（

3

2

，n），
則FD²+FQ²=DQ²，
即

9

4

+（8-n）²+

9

4

+（n-4）²=16，
解得：n=6±

7

2

，
∴F₃（

3

2

，6+

7

2

），F(xiàn)₄（

3

2

，6-

7

2

），
滿足條件的點F共有四個，坐標分別為
F₁（

3

2

，8），F(xiàn)₂（

3

2

，4），F(xiàn)₃（

3

2

，6+

7

2

），F(xiàn)₄（

3

2

，6-

7

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的解析式的求法拋物線的最值等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．