Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（4，1），與y軸交于點B（0，-1），直線l經(jīng)過點D（0，-2），且平行于x軸，過點A作AE⊥l，垂足為E．
（1）求拋物線及直線AB的解析式；
（2）若點P是在直線AB上方的拋物線上一點，是否存在點P使四邊形PBDA的面積最大，如果存在，求出四邊形PBDA的面積的最大值，并求出此時點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
（3）點M是拋物線在對稱軸右邊部分上的一點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果以M、N、A、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式求出b、c的值，即可得解；設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；
（2）求出△ABD的面積是定值判斷出△ABP的面積越大，四邊形PBDA的面積越大，過點P作PF∥y軸交AB于F，設點P的橫坐標為x，根據(jù)直線解析式和拋物線解析式表示出PF，然后根據(jù)S_△ABP=S_△BPF+S_△APF列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）設點M的橫坐標為m，根據(jù)（2）寫出MN的表達式，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得MN=AE，然后解方程求出m，再代入拋物線解析式求出點M的縱坐標，即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（4，1），B（0，-1），
∴

-16+4b+c=1 c=-1

，
解得

b= 9 2 c=-1

．
∴拋物線解析式為y=-x²+

9

2

x-1；
設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線AB經(jīng)過點A（4，1），B（0，-1），
∴

4k+b=1 b=-1

，
解得

k= 1 2 b=-1

，
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x-1；

（2）∵B（0，-1），D（0，-2），A（4，1），
∴BD=-1-（-2）=1，點A到BD的距離為4，
∴S_△ABD=

1

2

×1×4=2，
∵S_{四邊形PBDA}=S_△ABD+S_△APB，
∴△ABP的面積越大，四邊形PBDA的面積越大，
過點P作PF∥y軸交AB于F，設點P的橫坐標為x，
則PF=-x²+

9

2

x-1-（

1

2

x-1）=-x²+4x，
∴S_△ABP=S_△BPF+S_△APF，
=

1

2

×（-x²+4x）×4，
=-2（x-2）²+8，
∴當x=2時，S_△ABP有最大值8，
x=2時，y=-2²+

9

2

×2-1=-4+9-1=4，
S_{四邊形PBDA}=S_△ABD+S_△APB=2+8=10，
故存在點P（2，4），使四邊形PBDA的面積最大為10；

（3）設點M的橫坐標為m，由（2）知MN=-m²+4m，
∵以M、N、A、E為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴MN=AE=1-（-2）=3，
∴-m²+4m=3或-m²+4m=-3，
整理得，m²-4m+3=0或m²-4m-3=0
解得m₁=1，m₂=3或m=2±

7

，
∵點M是拋物線在對稱軸右邊部分上的一點，拋物線的對稱軸為直線x=-

9 2

2×(-1)

=

9

4

，
∴m＞

9

4

，
∴m=3或m=2+

7

，
∴-3²+

9

2

×3-1=

7

2

，-（2+

7

）²+

9

2

×（2+

7

）-1=-3+

7

2

，
∴以M、N、A、E為頂點的四邊形是平行四邊形時，點M的坐標為（3，

7

2

）或（2+

7

，-3+

7

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，平行四邊形的對邊平行，根據(jù)直線AB的解析式與拋物線的解析式表示出平行于y軸的線段的長度是解題的關鍵，也是本題的難點．