Question

如圖，AC是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點A，四邊形ABCD是平行四邊形，BC交⊙O于點E．
（1）判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為5cm，弦CE的長為8cm，求AB的長．

Answer 1

解：（1）直線CD與⊙O相切，
理由：∵AC是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點A，
∴AC⊥AB，
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∴直線CD與⊙O相切；

（2）連接AE，
∵AC為圓的直徑，
∴∠AEC=90°，
∵AB與⊙O相切于點A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴∠AEC=∠BAC=90°，
又∵∠ACE=∠BCA，
∴△CAE∽△CBA，
∴=①，
又∵AC=2AO=10cm，EC=8cm，
∴根據(jù)勾股定理可得，AE==6（cm），
代入關系式①得，=，
解得AB=7.5cm．
分析：（1）根據(jù)題意，易得∠BAC=90°，又由四邊形ABCD是平行四邊形，結合平行四邊形的性質AB∥CD，可得∠BAC=∠DCA=90°，故直線CD與⊙O相切，
（2）連接AE，易得△CAE∽△CBA，進而可得=，在Rt△AEC中，由勾股定理可得AE的值，代入關系式，可得答案．
點評：主要考查了相似三角形的判定和性質的應用，以及坐標與圖形的性質和直線與圓的位置關系．