Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=12cm，∠B=∠C，BC=8cm，點D為AB的中點．

（1）如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

（2）若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，則經(jīng)過多少秒后，點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

Answer 1

【答案】（1）①△BPD≌△CPQ；②3cm/s；（2）24秒，AC

【解析】

對于（1）①，根據(jù)題意求出PC、BD，結(jié)合已知確定PC與BD、BP與CQ的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可解答；

對于（1）②，由題意知BP≠CQ，要使△BPD與△CQP全等，則BP=PC，CQ=BD=6cm，從而求出點Q的運動速度；

對于（2），結(jié)合P、Q兩點的運動速度可知：當(dāng)點P與點Q相遇時，則點Q比點P多走AB+AC的長度，結(jié)合相遇問題中的基本公式列方程求解，即可確定兩點第一次相遇時所用的時間，求出此時點P的運動路程；

求出△ABC的周長，結(jié)合點P從點B出發(fā)運動，即可分析兩點第一次相遇時在三角形的哪一條邊上.

解：（1）①△BPD≌△CPQ

∵t=1

∴BP=CQ=2×1=2cm

∵AB=12cm，點D為AB的中點

∴BD=6cm．

又∵PC=BC-BP，BC=8cm，∴PC=8-2=6cm，∴PC=BD．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CPQ中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．

②∵點Q的運動速度與點P的運動速度不相等

∴BP≠CQ

又∵△BPD與△CPQ全等，∠B=∠C

∴BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm

∴點P，點Q運動的時間為4÷2=2s

∴Q點的運動速度為6÷2=3（cm/s）

（2）24秒，AC

設(shè)經(jīng)過t秒后，點P與點Q第一次相遇．

由題意：3t-2t=24，∴t=24，∴24×3=72．

∵△ABC的周長為32，∴點P與點Q第一次相遇在AC邊上．

故答案為：24秒，AC．