Question

已知：三角形ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)EF．
（1）如圖（1），AB為直徑，要使得EF是⊙O的切線(xiàn)，只需保證∠CAE=∠______，并證明之；
（2）如圖（2），AB為⊙O非直徑的弦，（1）中你所添出的條件仍成立的話(huà)，EF還是⊙O的切線(xiàn)嗎？若是，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由并與同學(xué)交流．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使EF是⊙O的切線(xiàn)，必須∠BAE=90°，即∠EAC與∠BAC互余．而與∠BAC互余的另一個(gè)角ABC就是我們要找的角．
（2）把一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況，即（1）的情形，所以過(guò)A作直徑．證明的方法和前面一樣．
解答：（1）保證∠CAE=∠ABC；
證明：∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC+∠ABC=90°．
若∠CAE=∠ABC．
∴∠BAC+∠CAE=90°，
即∠BAE=90°，OA⊥AE．
∴EF為⊙O的切線(xiàn)．

（2）EF還是⊙O的切線(xiàn)．
證明：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，如圖，
∴∠ADC=∠ABC．
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠DAC+∠ADC=90°．
∵∠CAE=∠ABC=∠ADC，
∴∠DAC+∠CAE=90°．
∴∠DAE=90°，
即OA⊥EF
所以EF為⊙O的切線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握切線(xiàn)的判定定理．把證明切線(xiàn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)段垂直的問(wèn)題．在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中，要學(xué)會(huì)運(yùn)用特殊情形解決一般情形．