Question

【題目】如圖①，∠QPN的頂點(diǎn)P在正方形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)處，∠QPN=α，將∠QPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）．

（1）如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_____；
（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當(dāng)α=60°時(shí)，（1）中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF=AD，請給出證明；
（3）在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點(diǎn)E，其他條件不變，探究在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)P，

∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，

∴∠APE=∠DPF，

在△APE和△DPF中

∴△APE≌△DPF（ASA），

∴AE=DF，

∴DE+DF=AD；

（2）

解：如圖②，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，

∵四邊形ABCD為∠ADC=120°的菱形，

∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，

∴△MDP是等邊三角形，

∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，

∵∠PAM=30°，

∴∠MPD=60°，

∵∠QPN=60°，

∴∠MPE=∠FPD，

在△MPE和△DPF中，

∴△MPE≌△DPF（ASA）

∴ME=DF，

∴DE+DF=AD；

（3）

解：如圖，

在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過程中，

①當(dāng)點(diǎn)E落在AD上時(shí)，DE+DF=AD；

②當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長線上時(shí)，DF﹣DE=AD．

（如圖3，取AD中點(diǎn)M，連接PM，證明△MPE≌△DPF）

【解析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出角與線段的關(guān)系，易證得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出結(jié)論DE+DF=AD，
（2）取AD的中點(diǎn)M，連接PM，利用菱形的性質(zhì)，可得出△MDP是等邊三角形，易證△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，
（3）①當(dāng)點(diǎn)E落在AD上時(shí)，DE+DF=AD，②當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長線上時(shí)，DF﹣DE=AD．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半，以及對正方形的性質(zhì)的理解，了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．