Question

如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2）．根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
（2）設(shè)四邊形PQCB的面積為y（cm²），直接寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的移動(dòng)過程中，如果將△APQ沿其一邊所在直線翻折，翻折后的三角形與△APQ組成一個(gè)四邊形，那么是否存在某一時(shí)刻t，使組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理求出AB，再根據(jù)題意知：AP=5-t，AQ=2t，當(dāng)PQ∥BC，則△AQP∽△ACB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得t，當(dāng)PQ⊥BC，則△APQ∽△ACB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得t．
（2）y=

3

5

t²-3t+6．
（3）若組成的四邊形為菱形，則△APQ必為等腰三角形，有3種情況，①當(dāng)沿AP翻折時(shí)，AQ=PQ，過Q作QD⊥AP于點(diǎn)D，則點(diǎn)D必為AP的中點(diǎn)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得；
②當(dāng)沿PQ翻折時(shí)利用2t=5-t可解得t；
③當(dāng)沿AQ翻折時(shí)，PQ=AP，過P點(diǎn)作PH⊥AC于H，則點(diǎn)H必為AQ的中點(diǎn)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

=5，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，
當(dāng)PQ∥BC，則△AQP∽△ACB，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
∴

2t

4

=

5-t

5

，
t=

10

7

，

10

7

＜2，
當(dāng)PQ⊥AB，則△APQ∽△ACB，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，
∴

2t

5

=

5-t

4

，
∴t=

25

13

，

25

13

＜2，
∴當(dāng)t=

10

7

或t=

25

13

時(shí)，
以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；

（2）過點(diǎn)P作PD⊥AC于D，
∵BC⊥AC，
∴PD∥BC，
∴

PD

BC

=

PA

AB

，
即

PD

3

=

5-t

5

，
解得：PD=3-

3

5

t，
∴S_{四邊形PQCB}=S_△ABC-S_△APQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AQ•PD=

1

2

×4×3-

1

2

×2t×（3-

3

5

t）=

3

5

t²-3t+6，
∴y=

3

5

t²-3t+6；

（3）若組成的四邊形為菱形，則△APQ必為等腰三角形，
①當(dāng)沿AP翻折時(shí)，AQ=PQ，過Q作QD⊥AP于點(diǎn)D，則點(diǎn)D必為AP的中點(diǎn)，
∴Rt△ADQ∽R(shí)t△ACB，
∴

AQ

AB

=

AD

AC

，
即

2t

5

=

5-t

2×4

，解得t=

25

21

，

25

21

＜2，
②當(dāng)沿PQ翻折時(shí)，AQ=AP，2t=5-t，解得t=

5

3

＜2
③當(dāng)沿AQ翻折時(shí)，PQ=AP，過P點(diǎn)作PH⊥AC于H，則點(diǎn)H必為AQ的中點(diǎn)，
∴Rt△AHP∽R(shí)t△ACB，
∴

AP

AB

=

AH

AC

即

5-t

5

=

t

4

，
解得：t=

20

9

＞2（不合題意應(yīng)舍去）
綜上所述，當(dāng)t=

25

21

或t=

5

3

時(shí)，所形成的四邊形為菱形．

點(diǎn)評(píng)：此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，有勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，翻轉(zhuǎn)變換等，綜合性較強(qiáng)，又涉及上動(dòng)點(diǎn)問題，給此題又增加了一定的難度，因此此題屬于難題．