Question

如圖，正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E，F(xiàn)，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G下列結(jié)論：①EC=BD；②GD=GH； ③S_△CDG=S_{四邊形DHGE}；④△BDH∽△BGD，⑤圖中有8個等腰三角形．其中正確的是    （填序號）

Answer 1

【答案】分析：①先證明四邊形DECB是平行四邊形，然后由平行四邊形的對邊相等得出EC=BD；
②、③根據(jù)已知可證明△CHG≌△EGD，則∠EDG=∠CGB=∠CBF，∴∠GDH=∠GHD（等角的余角相等），∴GD=GH（等邊對等角），S_△CDG=S_?DHGE；
④根據(jù)①～③及外角定理求得∠BDG=∠BHD=112.5°，再由公共角∠DBG=∠HBD，易證明△BDH∽△BGD；
⑤根據(jù)①～④的證明過程，找出圖中的等腰三角形．
解答：解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC，AD∥BC；
又F是AD的延長線上的一點，DE=AD，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴四邊形DECB是平行四邊形，
∴EC=BD（平行四邊形的對邊平行且相等）；
故本選項正確；

②∵DF=BD，
∴∠DFB=∠DBF；
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠CGB=∠CBG，
∴CG=BC=DE；
∵DE=DC，
∴∠DEG=∠DCE，
∵∠CHG=90°+22.5°=112.5°，∠EGD=180°-（180°-45°）÷2=112.5°，
∴∠CHG=∠EGD
∴△CHG≌△EGD，
∴GD=GH（全等三角形的對應(yīng)邊相等）；
故本選項正確；

③∵△CHG≌△EGD，
∴∠EDG=∠CGB=∠CBF
∴∠GDH=∠GHD
∴S_△CDG=S_?DHGE
故本選項正確；

④∵AF∥BC，
∴∠DFB=∠FBC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；
∵DF=DB，
∴∠DBF=∠DFB（等邊對等角），
∴∠FBC=∠DBF=22.5°，
∴∠BHD=90°+22.5°=112.5°（外角定理）；
∠CHB=∠DHG=90°-22.5°=67.5°（對頂角相等）；
∵GD=GH，
∴∠HDG=∠GHD=67.5°（等邊對等角），
∴∠BDG=∠BDC+∠HDG=45°+67.5°=112.5°，
∴∠BDG=∠BHD；
在△BDH和△BGD中，
∠BDG=∠BHD，
∠DBG=∠HBD（公共角），
∴△BDH∽△BGD；
故本選項正確；
⑤根據(jù)①～④知，圖中的等腰三角形有共九個，故本選項錯誤；
故答案是：①②③④．
點評：此題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定．解答該題的關(guān)鍵是證明△CHG≌△EGD、四邊形DECB是平行四邊形．本題綜合性較強，難度比較大．