Question

已知拋物線y=-x²+bx-經過點A（7，6），且與x軸交于B、C兩點
（1）求b值及B、C兩點的坐標；
（2）若直線x=t與拋物線交于P，與線段AB交于點Q，試問當t為何值時，線段PQ 的長最長？最長是多少？
（3）若點D是線段AB上任意一點，過點D作DE∥BC，交AC于點E設ADE的高AF的長為小x，以DE為折痕將△ADE翻折，所得的△A’DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y，當0＜x＜6時，求y與x的函數關系式；并求y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A的坐標（7，6）代入拋物線解析式計算即可求出b的值，然后令y=0，解關于x的一元二次方程即可寫出點B、C的坐標；
（2）利用待定系數法求出直線AB的解析式，再根據拋物線的解析式與直線AB的解析式分別求出點P、與點Q的坐標，線段PQ的長就等于點P的縱坐標減點Q的縱坐標，整理后根據二次函數的最值問題求解即可；
（3）因為AH的長度是6，所以①分0＜x≤3時，△A′DE在梯形DBCE內部，重疊部分的面積等于△A′DE的面積，②3＜x＜6時，點A′在梯形DBCE的外部，重疊部分是一個梯形，求出DE的長度，△A′DE在x軸上兩交點之間的距離，以及梯形的高，然后根據梯形的面積公式列式并整理，再根據二次函數的最值問題進行求解，綜合兩種情況便不難求出最大面積y．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx-經過點A（7，6），
∴-×7²+7b-=6，
解得b=，
∴拋物線解析式是y=-x²+x-，
當y=0時，-x²+x-=0，
解得x₁=1，x₂=10，
∴點B、C的坐標分別為B（1，0），C（10，0）；

（2）設直線AB的解析式是y=kx+b，
則，
解得，
∴直線AB的解析式是y=x-1，
∴點P的坐標為（t，-t²+t-），點Q的坐標是（t，t-1），其中0＜t＜6，
PQ=-t²+t--（t-1）=-t²+t-=-（t-4）²+3，
∴當t=4時，線段PQ有最長值，最長值為3；

（3）①0＜x≤3時，如圖，延長AF交x軸與H，
△A′DE在梯形DBCE內部，重疊部分的面積等于△A′DE的面積
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
即=，
解得DE=x，
∴重疊部分的面積y=S_△A′DE=DE•AF=×x×x=x²，（0＜x≤3），
∴當x=3時，y有最大值，最大值y=×3²=，
②當3＜x＜6時，點A′在梯形DBCE的外部，重疊部分是一個梯形，如右圖，
FH=AH-AF=6-x，A′H=A′F-FH=x-（6-x）=2x-6，
∵DE∥BC，
∴△A′MN∽△A′DE，
∴=，
即=，
解得MN=3x-9，
∴重疊部分的面積y=S_梯形MNED=（MN+DE）•FH=（3x-9+x）（6-x）=（x-4）²+9，（3＜x＜6），
當x=4時，y有最大值，最大值y=9，
9＞，
綜上所述，當x=4時，△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積y有最大值，最大值是9．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形面積的計算方法、三角形相似、函數圖象交點等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．