Question

將一張矩形紙板沿對角線剪開得到兩個三角形，△ABC與△DEF，∠B=∠E=90°，如圖①所示．
（1）將△ABC與△DEF按如圖②方式擺放，使點B與E重合，點C、B、E、F在同一條直線上，邊AB與DE重合，連接CD、FA，并延長FA交CD于G．試證：FA⊥CD
（2）在（1）所述基礎上，將紙板△ACB沿直線CF向右平移，并剪去ED右側部分，此時CA與ED的交點為A₁，連接CD、FA₁，并延長FA₁交CD于G，如圖③所示，直線FA₁和CD的位置關系是

 

（直接寫出）
（3）在（2）所述基礎上，將紙板△A₁CE繞點E逆時針旋轉α度（0°＜α＜90°）至如圖④所示位置，連接CD、FA₁，CD與FA₁交于點G，試判斷FA₁與CD的位置關系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖②，由旋轉的性質、等腰直角三角形的性質求得∠3=45°，∠1=45°．因為∠2=∠4，∠3+∠5+∠4=∠1+∠3+∠4=90°，所以FG⊥CD，則FA⊥CD；
（2）FA₁⊥CD．通過解Rt△CA₁E、△CDE、△A₁EF證得∠1=∠3，同（1）證得它們垂直．
（3）證△A₁CE∽△FDE，則∠EFG=∠GDE，故∠DGF=90°，即FA₁⊥CD．

解答：（1）證明：

如圖②，∵AB=BF，∠ABF=90°，
∴∠3=45°．
又∵BC=BD，∠DBC=90°，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠3．
∵∠2=∠4，
∴∠3+∠5+∠4=∠1+∠5+∠4=90°，
∴∠FGD=90°，即FG⊥CD，
∴FA⊥CD；

（2）FA₁⊥CD．理由如下：
如圖③，tan∠2=

A1E

CE

，tan∠5=

EF

DE

．
∵∠2=∠5，
∴

A1E

CE

=

EF

DE

，
∴

A1E

EF

=

CE

DE

，
tan∠1=tan∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠3+∠4+∠5=∠1+∠4+∠5=90°，
∴∠FGD=90°，即FG⊥CD，
∴FA⊥CD；

（3）∵∠A₁CE=∠FDE，∠A₁EC=∠FED，
∴△A₁CE∽△FDE，
∴∠EFG=∠GDE，
∴∠DGF=90°，即FA₁⊥CD．

點評：本題綜合考查了旋轉、平移的性質，等腰直角三角形的判定與性質，以及相似三角形的判定與性質等知識點．主要培養(yǎng)學生的推理能力，本題具有一定的代表性，證明過程類似，透過做此題培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維能力．