Question

如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，小明把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)D處兩條直角邊分別交線段BC于點(diǎn)E，交線段AC于點(diǎn)F，在三角板繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過程中他發(fā)現(xiàn)了線段BE，CE，CF，AF之間存在著某種數(shù)量關(guān)系．

（1）旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F也是AC的中點(diǎn)嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，若DE⊥BC，那么

BE

CE

=

CF

AF

成立嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)E是BC上任意一點(diǎn)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？

Answer 1

分析：（1）如圖1，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)易證∠EDC=∠ECD．易求FC=FD．然后由等角的余角相等推知∠FDA=∠A，則FD=FA，所以F為AC中點(diǎn)；
（2）如圖2，易證四邊形ECFD是矩形，則由矩形的對(duì)邊相互平行：DE∥AC，F(xiàn)D∥CB，平行線分線段成比例

BE

BC

=

BD

BA

，

AF

AC

=

AD

AB

，根據(jù)比例的性質(zhì)易求得

BE

CE

=

CF

AF

；
（3）由相似三角形：△ADF∽△CDE、△FDC∽△EDB的對(duì)應(yīng)邊成立易證得（2）中的結(jié)論成立．

解答：解：（1）旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是AC的中點(diǎn)．證明如下：
如圖1，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴ED=CE=EB，
∴∠EDC=∠ECD．
∵∠ECD+∠FCD=90°，∠EDC+∠FDC=90°
∴∠CDF=∠DCF，
∴FC=FD．
由∵∠CDF+∠FDA=90°，∠DCF+∠A=90°，
∴∠FDA=∠A，
∴FD=FA，
∴FC=FA，即F為AC中點(diǎn)；

（2）旋轉(zhuǎn)過程中，若DE⊥BC，那么

BE

CE

=

CF

AF

成立．證明如下：
如圖2，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∠EDF=90°，
∴四邊形ECFD是矩形，
∴DE∥AC，F(xiàn)D∥CB，
∴

BE

BC

=

BD

BA

，

AF

AC

=

AD

AB

，
∴根據(jù)比例的性質(zhì)，

BE

CE

=

BD

AD

，

AF

CF

=

AD

BD

，
∴

BE

CE

=

CF

AF

；

（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若點(diǎn)E是BC上任意一點(diǎn)，（2）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：
如圖3，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A=∠DCB，∠ACD=∠B．
∴△ADC∽△CDB，
∴AD：CD=CD：DB．
同理證得△ADF∽△CDE，則AF：CE=AD：CD；
△FDC∽△EDB，則FC：EB=DC：DB，
∴AF：CE=FC：EB，即

BE

CE

=

CF

AF

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理等．難度較大，綜合性較強(qiáng)．