Question

如圖1，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且OB =" 2OA" = 4．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）設(shè)P是（1）中拋物線上的一個動點，以P為圓心，R為半徑作⊙P，求當⊙P與拋物線的對稱軸l及x軸均相切時點P的坐標．

（3）動點E從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，動點F從點B出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向終點C運動，過點E作EG//y軸，交AC于點G（如圖2）．若E、F兩點同時出發(fā)，運動時間為t．則當t為何值時，△EFG的面積是△ABC的面積的？

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線為（2）滿足條件的點P的坐標為P₁（，）、P₂（，）、P₃（，）、P₄（，）（3）當t = 1時，△EFG的面積是△ABC的面積的

【解析】

試題分析：（1）解：∵OB=2OA=4

∴A（–2，0）、B（4，0）

由已知得：

解得：

所求拋物線為

（2）解法一：當點P在第一象限時，

過點P作PQ⊥l于Q，作PR⊥x軸于R

⊙P與x軸、直線l都相切，

∴PQ=PR

由（1）知拋物線的對稱軸l為x = 1，設(shè)P（x，）

則PQ = x–1，PR =

∴x–1 = ，解得：（其中舍去）

∴PR =" PQ" = x–1=

∴P（，）

同理，當點P在第二象限時，可得P（，）

當點P在第三象限時，可得P（，）

當點P在第四象限時，可得P（，）

綜上述，滿足條件的點P的坐標為P₁（，）、P₂（，）、P₃（，）、P₄（，）

解法二：由已知得點P也在由對稱軸l及x軸所組成的角的平分線所在的直線m上

當直線m過一、三、四象限時，設(shè)直線m與y軸交于N，對稱軸l與x軸交于M

由（1）知直線l為x = 1

故M（1，0）

∵∠OMN =45º=∠ONM

∴ON =" OM" = 1

∴N（0，–1）

∴直線m為：y = x–1

解方程組

得： 

∴點P的坐標為（，）或（，）

當直線m經(jīng)過一、二、四象限時，

同理可得點P的坐標為（，）或（，）

∴點P的坐標為P₁（，）、P₂（，）、P₃（，）、P₄（，）

（3）解：過點F作FH⊥EG于點H，作FJ⊥x軸于J

由（1）知點C的坐標為（0，–4）

∴OB=OC=4

∵∠OBC=∠OCB = 45º

∴FJ=BJ=

∴F（4–t，t）

∵AE = t，∴E（–2 + t，0）

∴A（–2，0）、C（0，–4）

∴直線AC為：y =–2x–4

把x =–2 + t代入得：y =–2t，∴G（–2 + t，–2t）

∴EG = 2t，F(xiàn)H = (4–t )–(–2 + t ) = 6–2t

∴ 

∵

∴，解得， 

∵當t = 2時，G（0，–4），E（0，0），此時EG與OC重合，不合題意，舍去

∴當t = 1時，△EFG的面積是△ABC的面積的．

考點：二次函數(shù)和動點問題

點評：本題難度較大，主要考查學生對二次函數(shù)解決動點問題綜合運用能力，動點為中考�？碱}型，要求學生注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)綜合分析歸納能力，并運用到考試中去。