Question

已知△ABC和△FDE是頂角相等的兩個等腰三角形，AB=AC，F(xiàn)D=FE，把點F放到與A點重合，E在線段BC的延長線上．

（1）如圖1，若∠BAC=∠DFE=60°，此時∠DCE=______；
（2）如圖2，若∠BAC=∠DFE=95°，此時∠DCE=______；
（3）若∠BAC=∠DFE=n°，將△FDE沿線段AC向下滑動，如圖3所示，試猜想此時∠DCE的度數(shù)，并寫出詳細求解過程．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，F(xiàn)D=FE，∠BAC=∠DFE=60°，
∴△ABC與△FED是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵∠BAC=∠DFE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DFE+∠CAE，
即∠BAE=∠CFD，
在△BAE和△CFD中
，
∴△BAE≌△CFD（SAS），
∴∠ABE=∠FCD=60°，
∴∠DCE=180°-∠ACB-∠FCD=60°；

（2）∵AB=AC，∠BAC=95°，
∴∠ABC=∠ACB=42.5°
又∵∠BAC=∠DFE，
∴∠BAC+∠CAE=∠DFE+∠CAE，
即∠BAE=∠CFD，
在△BAE和△CFD中
，
∴△BAE≌△CFD（SAS），
∴∠ABE=∠FCD=42.5°，
∴∠DCE=180°-∠ACB-∠FCD=95°；

（3）過F作FG∥AB，
∴∠FGC=∠ABC，
又AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠FGC=∠ACB，∴FG=FC，
又∠BAC=n°，
∴∠ABC=∠ACB=，
又∵FG∥AB，
∴∠CFG=∠CAB，又∠CAB=∠DFE，
∴∠CFG=∠DFE，
∴∠CFG+∠EFC=∠DFE+∠EFC，
即∠GFE=∠CFD，
在△GFE和△CFD中
，
∴△GFE≌△CFD（SAS），
∴∠FGC=∠FCD=，
∴∠DCE=180°-∠ACB-∠FCD
=180°--=n°．
分析：（1）由AB=AC，F(xiàn)D=FE，再加上∠BAC=∠DFE=60°，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形為等邊三角形得到三角形ABC和三角形FDE都為等邊三角形，從而得到∠BAC與∠EAD相等都為60°，兩角都加上∠ACE，根據(jù)等式的基本性質(zhì)得到一對角相等，利用SAS即可得到三角形ABE與三角形ACD全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠ACD=∠B=60°，又∠ACB也為60°，根據(jù)平角定義即可求出∠DCE為60°；
（2）由∠BAC與∠EAD相等都為95°，兩角都加上∠ACE，根據(jù)等式的基本性質(zhì)得到一對角相等，再由AB=AC，F(xiàn)D=FE，利用SAS得到三角形ABE與三角形ACD全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠ACD=∠B=∠C=，由平角定義即可求出∠DCE的度數(shù)；
（3）過F作FG平行與AB，由兩直線平行得到兩對同位角相等，先根據(jù)等量代換得到∠FGC=∠ACB，利用等角對等邊得到FG=FC，再等量代換得到∠CFG=∠DFE，兩角都加上∠CFE，根據(jù)等式的基本性質(zhì)得到一對角相等，再由FG=FC，F(xiàn)D=FE，利用SAS得到三角形GFE與三角形CFD全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠FGC=∠FDC=，由平角定義即可求出∠DCE的度數(shù)．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，解題時采用了由特殊到一般的推理方法：發(fā)現(xiàn)規(guī)律并證明，要注意思路及方法的遷移，同時通過構(gòu)造全等三角形來解決證明角、邊的相等問題，尤其在證明其性質(zhì)和判定中，展示的轉(zhuǎn)化意識對學(xué)生分析和解決問題能力的提高有非常重要的價值．本題第三問作出輔助線FG平行于AB是證明的突破點．