【題目】如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)M為BD中點(diǎn),CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:CM=EM;
(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;
(3)如圖2,若△DAE≌△CEM,點(diǎn)N為CM的中點(diǎn),求證:AN∥EM.
【答案】(1)證明見解析;(2)∠EMF=100°;(3)證明見解析.
【解析】(1)在Rt△DCB和Rt△DEB中,利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半進(jìn)行證明即可得;
(2)根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠ABC=40°,根據(jù)CM=MB,可得∠MCB=∠CBM,從而可得∠CMD=2∠CBM,繼而可得∠CME=2∠CBA=80°,根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可求得∠EMF的度數(shù);
(3)由△DAE≌△CEM,CM=EM,∠DEA=90°,結(jié)合CM=DM以及已知條件可得△DEM是等邊三角形,從而可得∠EDM=60°,∠MBE=30°,繼而可得∠ACM=75°,連接AM,結(jié)合AE=EM=MB,可推導(dǎo)得出AC=AM,根據(jù)N為CM中點(diǎn),可得AN⊥CM,再根據(jù)CM⊥EM,即可得出AN∥EM.
(1)∵M為BD中點(diǎn),
Rt△DCB中,MC=BD,
Rt△DEB中,EM=BD,
∴MC=ME;
(2)∵∠BAC=50°,∠ACB=90°,
∴∠ABC=90°-50°=40°,
∵CM=MB,
∴∠MCB=∠CBM,
∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM,
同理,∠DME=2∠EBM,
∴∠CME=2∠CBA=80°,
∴∠EMF=180°-80°=100°;
(3)∵△DAE≌△CEM,CM=EM,
∴AE=EM,DE=CM,∠CME=∠DEA=90°,∠ECM=∠ADE,
∵CM=EM,∴AE=ED,∴∠DAE=∠ADE=45°,
∴∠ABC=45°,∠ECM=45°,
又∵CM=ME=BD=DM,
∴DE=EM=DM,
∴△DEM是等邊三角形,
∴∠EDM=60°,
∴∠MBE=30°,
∵CM=BM,∴∠BCM=∠CBM,
∵∠MCB+∠ACE=45°,
∠CBM+∠MBE=45°,
∴∠ACE=∠MBE=30°,
∴∠ACM=∠ACE+∠ECM=75°,
連接AM,∵AE=EM=MB,
∴∠MEB=∠EBM=30°,
∠AME=∠MEB=15°,
∵∠CME=90°,
∴∠CMA=90°-15°=75°=∠ACM,
∴AC=AM,
∵N為CM中點(diǎn),
∴AN⊥CM,
∵CM⊥EM,
∴AN∥CM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn),點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn).令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若點(diǎn)P在線段AB上,如圖(1)所示,且∠α=50°,則∠1+∠2= °;
(2)若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng),如圖(2)所示,則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系?說明理由.
(3)若點(diǎn)P在Rt△ABC斜邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)(CE<CD),則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系?猜想并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算
(1);
(2);
(3)2x3y(-2xy)+(-2x2y)2;
(4)(2a+b)(b-2a)-(a-3b)2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,直線AB∥DC,點(diǎn)P為平面上一點(diǎn),連接AP與CP.
(1)如圖1,點(diǎn)P在直線AB、CD之間,當(dāng)∠BAP=60°,∠DCP=20°時(shí),求∠APC.
(2)如圖2,點(diǎn)P在直線AB、CD之間,∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)如圖3,點(diǎn)P落在CD外,∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O為銳角△ABC的外接圓,半徑為5.
(1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)若(1)中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3,求弦CE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一塊直角三角板ABC(∠A=30°)的斜邊AB與一個(gè)以r為半徑的圓輪子相靠,若BD=1,則r等于( )
A. 2 B. C. 1.5 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,O,D分別為AB,BC上的點(diǎn),經(jīng)過A,D兩點(diǎn)的⊙O分別交AB,AC于點(diǎn)E,F(xiàn),且D為弧EF的中點(diǎn).
(1)求證:BC與⊙O相切;
(2)當(dāng)⊙O的半徑r=2,∠CAD=30°時(shí),求劣弧AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某文具店,甲種筆記本標(biāo)價(jià)每本8元,乙種筆記本標(biāo)價(jià)每本5元.今天,甲、乙兩種筆記本合計(jì)賣了100本,共賣了695元!
(1)兩種筆記本各銷售了多少?
(2)所得銷售款可能是660元嗎?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為18cm,AE平分∠BAD,若CE=1cm,則AB的長(zhǎng)度是_____cm.
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