Question

已知等邊△ABC邊AB上一動點P，連PC，在PC上方作等邊△PDC，連AD．
（1）如圖1，求證：AD∥BC；
（2）如圖2，若AP=2BP，過P點作PF⊥CD，交AC于E，交CD于F，AC與PD相交于N點，求證：PN=2DN；
（3）在（2）中，若CD=3，求PE的長．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）證明△BCP≌△ACD，得出∠CAD=∠B=60°，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得出結(jié)論；
（2）延長DP交CB的延長線于點G，分別根據(jù)△ADP∽△BGP、△ADN∽△CGN，得出各線段之間的關(guān)系，然后可得出結(jié)論；
（3）取DN中點H，連接FH，則可判斷HF是△DNC的中位線，得出HF∥CN，利用相似三角形的性質(zhì)，可得出PE與PF之間的比例關(guān)系，在Rt△PCF中求出PF，即可得出PE．

解答：解：（1）∵∠BCP+∠PCA=∠ACD+∠PCA=60°，
∴∠BCP=∠ACD，
∵△ABC、△PDC是等邊三角形，
∴BC=AC，CP=CD，
在△BCP和△ACD中，

BC=AC ∠BCP=∠ACD CP=CD

，
∴△BCP≌△ACD（SAS），
∴∠CAD=∠B=60°，
∴∠CAD=∠ACB，
∴AD∥BC．

（2）延長DP交CB的延長線于點G，
設(shè)PB=2，則AP=4，
由（1）知：AD=PB=2，
∵AD∥BC，
∴△ADP∽△BGP，
∴

AD

BG

=

AP

PB

=2，
∴AD=2BG，
又∵△ADN∽△CGN，
∴

DN

NG

=

AD

CG

=

2

BG+BC

=

2

1+AB

=

2

1+6

=

2

7

，
設(shè)DN=2m，則NG=7m，
∵PD=2PG，
∴PD=6m，PG=3m，PN=NG-PG=4m，
∴PN=2DN．

（3）取DN中點H，連接FH，
∵H是ND中點，F(xiàn)是CD中點，
∴HF是△DNC的中位線，
∴HF∥CN，
∴

PE

PF

=

PN

PH

，
又∵PN=2ND，ND=2NH，
∴

PE

PF

=

PN

PH

=

4

5

，
∴PE=

4

5

PF，
在Rt△PCF中，PF=

PC2-CF2

=

9- 9 4

=

3 3

2

，
∴PE=

6 3

5

．

點評：本題考查了相似形的綜合，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及平行線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要同學(xué)們有扎實的基本功，熟練數(shù)形結(jié)合思想的運用．