Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線EF與AB，CD的延長線分別交于E，F(xiàn)．
（1）求證：△BOE≌△DOF；
（2）當(dāng)EF與AC滿足什么關(guān)系時(shí)，以A，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OB=OD（矩形的對角線互相平分），

AE∥CF（矩形的對邊平行）．

∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．

∴△BOE≌△DOF（AAS）

（2）解：當(dāng)EF⊥AC時(shí)，四邊形AECF是菱形．

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC（矩形的對角線互相平分）．

又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；（2）若四邊形EBFD是菱形，則對角線互相垂直，因而可添加條件：EF⊥AC，

當(dāng)EF⊥AC時(shí)，∠EOA=∠FOC=90°，

∵AE∥FC，

∴∠EAO=∠FCO，矩形對角線的交點(diǎn)為O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．

∴四邊形EBFD是菱形．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用菱形的判定方法和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．