Question

【題目】如圖1，在ABCD中，DH⊥AB于點H，CD的垂直平分線交CD于點E，交AB于點F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．

（1）如圖2，作FG⊥AD于點G，交DH于點M，將△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，連接M′B．

①求四邊形BHMM′的面積；

②直線EF上有一動點N，求△DNM周長的最小值．

（2）如圖3，延長CB交EF于點Q，過點Q作QK∥AB，過CD邊上的動點P作PK∥EF，并與QK交于點K，將△PKQ沿直線PQ翻折，使點K的對應點K′恰好落在直線AB上，求線段CP的長．

Answer 1

【答案】（1）①四邊形BHMM′的面積為7.5；②△DNM周長的最小值為9；（2）CP的長為或．

【解析】（1）①根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)進行解答即可；

②連接CM交直線EF于點N，連接DN，利用勾股定理解答即可；

（2）分點P在線段CE上和點P在線段ED上兩種情況進行解答．

（1）①在ABCD中，AB=6，直線EF垂直平分CD，

∴DE=FH=3，

又BF：FA=1：5，

∴AH=2，

∵Rt△AHD∽Rt△MHF，

∴，

即，

∴HM=1.5，

根據(jù)平移的性質(zhì)，MM'=CD=6，連接BM，如圖1，

四邊形BHMM′的面積==7.5；

②連接CM交直線EF于點N，連接DN，如圖2，

∵直線EF垂直平分CD，

∴CN=DN，

∵MH=1.5，

∴DM=2.5，

在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，

∴MC2=62+（2.5）2，

即MC=6.5，

∵MN+DN=MN+CN=MC，

∴△DNM周長的最小值為9；

（2）∵BF∥CE，

∴，

∴QF=2，

∴PK=PK'=6，

過點K'作E'F'∥EF，分別交CD于點E'，交QK于點F'，如圖3，

當點P在線段CE上時，

在Rt△PK'E'中，

PE'2=PK'2﹣E'K'2，

∴PE′=2，

∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，

∴，

即，

解得：QF′=，

∴PE=PE'﹣EE'=，

∴CP=，

同理可得，當點P在線段DE上時，CP′=，，如圖4，

綜上所述，CP的長為或．