Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），連接OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)，可得到OA、OB的長(zhǎng)，過(guò)B作BD⊥x軸于D，由于∠OBD=60°，通過(guò)解直角三角形，即可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、O、B三點(diǎn)坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；
（3）由于A、O關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，若連接BA，那么直線BA與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求的C點(diǎn)，可先求出直線AB的解析式，聯(lián)立拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）過(guò)B作BD⊥x軸于D
∵A（-2，0），
∴OA=OB=2
Rt△OBD中，∠BOD=60°，OB=2，
∴∠OBD=30°，
∴OD=1，BD=

3

故B（1，

3

）；（2分）

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-0）（x+2），
代入點(diǎn)B（1，

3

），
得a=

3

3

，（3分）
因此y=

3

3

x²+

2 3

3

x；（5分）

（3）如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1，
∵A、O兩點(diǎn)關(guān)于直線x=-1對(duì)稱(chēng)，
∴當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱(chēng)軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，△BOC的周長(zhǎng)最小，即△BOC的周長(zhǎng)線段AB的長(zhǎng)；
設(shè)直線AB為y=kx+b，
所以

k+b= 3 -2k+b=0

，
解得

k= 3 3 b= 2 3 3

，
因此直線AB為y=

3

3

x+

2 3

3

，（7分）
當(dāng)x=-1時(shí)，y=

3

3

，
因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，

3

3

）．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、二次函數(shù)解析式的確定、平面展開(kāi)-最短路徑等相關(guān)知識(shí)，難度適中．