Question

【題目】如圖，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：

（1）sin2A1+sin2B1=　　　. sin2A2+sin2B2=　　　.sin2A3+sin2B3=　　　；

(2)觀察上述等式，猜想在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=　　　；

(3)如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C 的對邊分別是a、b、c，利用三角函數的定義和勾股定理，證明你的猜想；

（4）已知∠A+∠B =90°且sinA=，求sinB.

Answer 1

【答案】（1）1 1 1；（2）1；（3）證明見解析；（4）.

【解析】（1）由前面的結論，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用銳角三角函數的定義得出sinA=，sinB=，

則sin2A+sin2B=，再根據勾股定理得到a2+b2=c2，從而證明sin2A+sin2B=1；

（3）利用關系式sin2A+sin2B=1，結合已知條件sinA=，進行求解．

試題解析：：（1）由圖可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；

sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；

sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．

觀察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．

（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．

∵sinA=，sinB=，，

∴sin2A+sin2B=，

∵∠C=90°，

∴a2+b2=c2，

∴sin2A+sin2B=1．

（3）∵sinA= ，sin2A+sin2B=1，

∴sinB=．