Question

如圖，正方形ABCD的四個頂點分別在四條平行線l₁、l₂、l₃、l₄上，這四條直
線中相鄰兩條之間的距離依次為h₁、h₂、h₃(h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0)．
(1)求證：h₁＝h₂；
(2)設(shè)正方形ABCD的面積為S，求證：S＝(h₁＋h₂)²＋h₁²；
(3)若h₁＋h₂＝1，當(dāng)h₁變化時，說明正方形ABCD的面積S隨h₁的變化情況．

Answer 1

（1）過A點作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點E、F，過C點作CH⊥l₂分別交l₂、l₃于點H、G，證△ABE≌△CDG即可.
（2）易證△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且兩直角邊長分別為h₁、h₁+h₂,四邊形EFGH是邊長為h₂的正方形，
所以.
(3)由題意，得 所以

又    解得0＜h₁＜
∴當(dāng)0＜h₁＜時，S隨h₁的增大而減��；
當(dāng)h₁=時，S取得最小值；
當(dāng)＜h₁＜時，S隨h₁的增大而增大.

解析