Question

如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠D=60°，菱形ABCD在直線上向右作無(wú)滑動(dòng)的翻滾，每繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°叫一次操作．

（1）對(duì)角線AC=______；
（2）經(jīng)過(guò)27次這樣的操作菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)為（結(jié)果保留π）______．

Answer 1

解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴OA=OC=1，
∴OB==，

第一次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為：=π；
第二次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為：=π；
第三次旋轉(zhuǎn)的弧長(zhǎng)為：=，
故可得旋轉(zhuǎn)27次菱形中心O所經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)=9（π+π+）=（6+3）π．
故答案為：（6+3）π．
分析：（1）根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)可得出△ABC是等邊三角形，繼而可得出AC的長(zhǎng)度；
（2）從圖中可以看出，第一次旋轉(zhuǎn)是以點(diǎn)B為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OB，解直角三角形可求出OB的長(zhǎng)，圓心角是60°，第二次還是以點(diǎn)B為圓心，那么菱形中心旋轉(zhuǎn)的半徑就是OB，圓心角是60°，第三次就是以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，OC為半徑，旋轉(zhuǎn)的圓心角為60°，旋轉(zhuǎn)到此菱形就又回到了原圖，故這樣旋轉(zhuǎn)27次，就是這樣的9個(gè)弧長(zhǎng)的總長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式以及菱形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出菱形每轉(zhuǎn)動(dòng)3次一循環(huán)進(jìn)而得出經(jīng)過(guò)路徑是解題的關(guān)鍵．