Question

在平面直角坐標(biāo)系中，有拋物線y=

1

4

x2+1，已知點(diǎn)A（0，2），P（m，n）是拋物線上一動點(diǎn)，過O、P的直線交拋物線于點(diǎn)D，若AP=2AD，求直線OP的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上用n表示出m²，再利用勾股定理列式求出AP，從而得到點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，根據(jù)AP=2AD判斷出PF=2DE，得到OF=2OE，設(shè)OE=a，表示出OF=2a，然后代入拋物線解析式并列出方程求出a的值，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答．

解答：解：∵P（m，n）是拋物線y=

1

4

x²+1上一動點(diǎn)，
∴

1

4

m²+1=n，
∴m²=4n-4，
∵點(diǎn)A（0，2），
∴AP=

(m-0)2+(n-2)2

=

4n-4+n2-4n+4

=n，
∴點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離等于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，
過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，
∵AP=2AD，
∴PF=2DE，
∴OF=2OE，
設(shè)OE=a，則OF=2a，
∴

1

4

×（2a）²+1=2（

1

4

a²+1），
解得a=

2

，
∴

1

4

a²+1=

1

4

×

2

²+1=

3

2

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

2

，

3

2

），
設(shè)OP的解析式為y=kx，
則

2

k=

3

2

，
解得k=

3 2

4

，
∴直線OP的解析式為y=

3 2

4

x．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求出拋物線上的點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離等于到x軸的距離是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．