Question

【題目】如圖1所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)點(diǎn)A的一條直線，且B點(diǎn)和C點(diǎn)在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D點(diǎn)，CE⊥AE與E點(diǎn)．

（1）求證：BD=DE+CE
（2）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置時(shí)（BD＜CE）其余條件不變，問(wèn)BD 與DE，CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明．

（3）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時(shí)（BD＞CE）其余條件不變，問(wèn)BD 與DE，CE的關(guān)系如何？直接寫出結(jié)果，不需證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，

∴∠ADB=∠AEC=90°．

∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，

∵∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°，

∴∠ABD=∠CAE

在△ABD 和△CAE中，

∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∵AE=AD+DE，

∴BD=DE+CE

（2）

解：BD=DE﹣CE

證明如下：

∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，

∴∠DAB+∠DBA=90°

∵∠BAC=90°，

∴∠DAB+∠CAE=90°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△DBA和△EAC中，

∠D=∠E=90°，∠DBA=∠CAE，AB=AC

△DBA≌△EAC（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

BD=AE=DE﹣AD=DE﹣CE

（3）

解：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，

∴∠DAB+∠DBA=90°

∵∠BAC=90°，

∴∠DAB+∠CAE=90°，

∴∠DBA=∠CAE．

在△DBA和△EAC中，

∠D=∠E=90°，∠DBA=∠CAE，AB=AC

△DBA≌△EAC（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

又∵ED=AD+AE，

∴DE=BD+CE．

【解析】（1）根據(jù)已知條件易證得∠BAD=∠ACE，且根據(jù)全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE，根據(jù)各線段的關(guān)系即可得結(jié)論．（2）BD=DE+CE．根據(jù)全等三角形的判定可證明△ABD≌△CAE，根據(jù)各線段的關(guān)系即可得結(jié)論．（3）同上理，BD=DE+CE仍成立．