Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，矩形MRTN內(nèi)接于△ABC（RT在BC邊上），正方形EGHF內(nèi)接于△AMN（GH在MN邊上），EF，MN分別交AD于點(diǎn)P，Q，設(shè)AP=x，已知BC=6，AD=4．
（1）試用x的代數(shù)式表示線段EF，MN的長；
（2）設(shè)S=S_EGHF+S_MRTN，
①求S關(guān)于x的解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當(dāng)x取何值時(shí)，S有最大值？
（3）連接RN，當(dāng)△NRC是等腰三角形時(shí)，求x的值．

Answer 1

解：（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴即，
∴，
又∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC，
∴即，
∴；

（2）①∵，
∴，
即，
自變量x的取值范圍為：；
②∵，b=15，
此時(shí)x=-=-=，
∵0＜＜，
∴（在范圍內(nèi)），S有最大值；

（3）當(dāng)△NRC是等腰三角形時(shí)，分以下三種情形：
①當(dāng)NR=NC時(shí)，∵NT⊥BC，∴RT=CT，∵，，
∴，
解得；
②當(dāng)RC=NC時(shí)，∵，
∴，
在Rt△NCT中，∴，
∴，
解得；
③當(dāng)RC=NR時(shí)，

解法一：如圖，作RK⊥AC于點(diǎn)K，
則，
∵CK=RC×cosC，
∴，
解得；
解法二：∵RC²=NR²=NT²+RT²，
化簡得1075x²-2000x+448=0，
解得，或（不合題意，舍去），
綜上所述，當(dāng)△NRC是等腰三角形時(shí)，，或，或．
分析：（1）先根據(jù)EF∥BC求出△AEF∽△ABC，根據(jù)其相似比可用含x的代數(shù)式表示出EF；同理，由MN∥BC，可求出△AMN∽△ABC，根據(jù)其相似比為可用含x的代數(shù)表示出MN的值；
（2）①由NT=DQ可用含x的代數(shù)式表示出NT的長，再結(jié)合（1）的結(jié)論便可寫出S關(guān)于x的解析式，根據(jù)0＜NT＜4，即可求出x的取值范圍；
②由①求出的函數(shù)解析式可判斷出a、b的值，再根據(jù)x的取值范圍及s的最值即可進(jìn)性判斷；
（3）由于等腰三角形的兩腰不明確，故應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論．
點(diǎn)評：此題比較復(fù)雜，涉及到相似三角形判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、等腰三角形的性質(zhì)，在解（2）時(shí)一定要注意分類討論，不要漏解．