Question

某公園有一個拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=-

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x2+c且過頂點(diǎn)C（0，5）（長度單位：m）
（1）直接寫出c的值；
（2）現(xiàn)因搞慶典活動，計劃沿拱橋的臺階表面鋪設(shè)一條寬度為1.5m的地毯，地毯的價格為20元/m²，求購買地毯需多少元？
（3）在拱橋加固維修時，搭建的“腳手架”為矩形EFGH（H、G分別在拋物線的左右側(cè)上），并鋪設(shè)斜面EG．已知矩形EFGH的周長為27.5m，求斜面EG的傾斜角∠GEF的度數(shù)．（精確到0.1°）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)在拋物線上易求得c；
（2）根據(jù)解析式求出A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)，求出地毯的總長度，再根據(jù)地毯的價格求出購買地毯需要的錢；
（3）由已知矩形EFGH的周長，求出GF，EF邊的長度，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)求出傾斜角∠GEF的度數(shù)．

解答：解：（1）拋物線的解析式為y=-

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x2+c，
∵點(diǎn)（0，5）在拋物線上
∴c=5；

（2）由（1）知，OC=5，
令y=0，即-

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x2+5=0，解得x₁=10，x₂=-10；
∴地毯的總長度為：AB+2OC=20+2×5=30，
∴30×1.5×20=900
答：購買地毯需要900元．

（3）可設(shè)G的坐標(biāo)為（m，-

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m2+5）其中m＞0
則EF=2m，GF=-

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m2+5，
由已知得：2（EF+GF）=27.5，
即2（2m-

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m2+5）=27.5，
解得：m₁=5，m₂=35（不合題意，舍去），
把m₁=5代入，-

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m2+5=-

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×5²+5=3.75，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是（5，3.75），
∴EF=10，GF=3.75，
在Rt△EFG中，tan∠GEF=

GF

EF

=

3.75

10

=0.375，
∴∠GEF≈20.6°．

點(diǎn)評：此題考查二次函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，要結(jié)合圖形做題．