Question

如圖，直線與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），⊙O是以CD長為半徑的圓。CE∥x軸，DE∥y軸，CE、DE相交于點(diǎn)E。

（1）△CDE是    ▲    三角形；點(diǎn)C的坐標(biāo)為    ▲    ，點(diǎn)D的坐標(biāo)為    ▲    （用含有b的代數(shù)式表示）；

（2）b為何值時，點(diǎn)E在⊙O上？

（3）隨著b取值逐漸增大，直線與⊙O有哪些位置關(guān)系？求出相應(yīng)b的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）等腰直角；；。（2）時，點(diǎn)E在⊙O上（3）見解析

【解析】解：（1）等腰直角；；。

  （2）當(dāng)點(diǎn)E在⊙O上時，如圖，連接OE。則OE=CD。

 

 

    ∵直線與x軸、y軸相交于點(diǎn)A（－b，0），B（0，b），CE∥x軸，DE∥y軸，

    ∴△DCE、△BDO是等腰直角三角形。

    ∵整個圖形是軸對稱圖形，

    ∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=45⁰。

    ∵CE∥x軸，DE∥y軸，

    ∴四邊形CAOE、OEDB是等腰梯形。

    ∴OE=AC=BD。

    ∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD。

    過點(diǎn)C作CF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F。

    則△AFC∽△AOB�！��！�。

    ∴，解得。

    ∵，∴。

    ∴當(dāng)時，點(diǎn)E在⊙O上。

（3）當(dāng)⊙O與直線相切于點(diǎn)G時，

     如圖 ，連接OG。

 

 

     ∵整個圖形是軸對稱圖形，

 ∴點(diǎn)O、E、G在對稱軸上。

∴GC=GD=CD=OG=AG�！郃C=CG=GD=DB�！郃C=AB。

過點(diǎn)C作CH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H。  則△AHC∽△AOB。

∴�！�。

∴，解得。

∵，∴。

∴當(dāng)時，直線與⊙O相切；

當(dāng)時，直線與⊙O相離；

當(dāng)時，直線與⊙O相交。

（1）∵直線與x軸、y軸相交于點(diǎn)A（－b，0），B（0，b），CE∥x軸，DE∥y軸，

            ∴△DCE是等腰直角三角形。

            解得，或。

            ∵點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為。

（2）連接OE，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H。由整個圖形是軸對稱圖形，可求得OE=AC=BD=CD。由△AFC∽△AOB可求得，代入CF、BO關(guān)于b的關(guān)系式求解即得所求。

（3）討論直線與⊙O相切時，b的取值即可得到直線與⊙O的位置關(guān)系。

     當(dāng)⊙O與直線相切于點(diǎn)G時，連接OG，過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H。由整個圖形是軸對稱圖形，可求得AC=CG=GD=DB，即AC=AB。由△AHC∽△AOB可求得，代入CH、BO關(guān)于b的關(guān)系式求解即得⊙O與直線相切時相應(yīng)b的值。從而得到直線與⊙O相離和相交時相應(yīng)b的取值范圍。