如圖①,P是△ABC邊AC上的動點,以P為頂點作矩形PDEF,頂點D,E在邊BC上,頂點F在邊AB上;△ABC的底邊BC及BC上的高的長分別為a , h,是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根,設(shè)過D,E,F三點的⊙O的面積為,矩形PDEF的面積為。

(1)求證:以a+h為邊長的正方形面積與以a、h為邊長的矩形面積之比不小于4;

(2)求的最小值;

(3)當(dāng)的值最小時,過點A作BC的平行線交直線BP與Q,這時線段AQ的長與m , n , k的取值是否有關(guān)?請說明理由。(11分)


解:解法一:

(1)據(jù)題意,∵a+h=.

∴所求正方形與矩形的面積之比:

同號,

(說明:此處未得出只扣1分, 不再影響下面評分)

即正方形與矩形的面積之比不小于4.

(2)∵∠FED=90º,∴DF為⊙O的直徑.

 
∴⊙O的面積為:

矩形PDEF的面積:

 
∴面積之比: 設(shè)

 

 

,   

 
,即時(EF=DE), 的最小值為

 
(3)當(dāng)的值最小時,這時矩形PDEF的四邊相等為正方形.

B點過BMAQM為垂足,BM交直線PFN點,設(shè)FP e,

BNFENFBE,∴BN=EF,∴BN =FP =e.

BCMQ,得:BM =AG =h.

AQBC, PFBC, ∴AQFP,

∴△FBP∽△ABQ.

(說明:此處有多種相似關(guān)系可用,要同等分步驟評分)

,

.∴

∴線段AQ的長與m,nk的取值有關(guān).    

(解題過程敘述基本清楚即可)

解法二:

(1)∵a,h為線段長,即a,h都大于0,

 ∴ah>0(說明:此處未得出只扣1分,再不影響下面評分)

  ∵(a-h≥0,當(dāng)ah時等號成立.

        故,(a-h=(ah-4a h≥0.

    ∴(ah≥4a h

    ∴≥4.(﹡)

      這就證得≥4.(敘述基本明晰即可)

(2)設(shè)矩形PDEF的邊PD=x,DE=y,則⊙O的直徑為 .

          SO=, S矩形PDEF=xy

 
=  

=

由(1)(*),            .

.

 
的最小值是

 
(3)當(dāng)的值最小時,

這時矩形PDEF的四邊相等為正方形.

EF=PF.作AGBC,G為垂足.

∵△AGB∽△FEB,∴.

∵△AQB∽△FPB, ,

=

EF=PF,∴AG=AQ=h,

AG=h,

或者AG=h

∴線段AQ的長與m,nk的取值有關(guān).

(解題過程敘述基本清楚即可)

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