Question

（2005•日照）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD的平分線CF交邊AB于F，∠ADC的平分線DG交邊AB于G．
（1）求證：AF=GB；
（2）請你在已知條件的基礎上再添加一個條件，使得△EFG為等腰直角三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由角平分線知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，則有AF=GB；
（2）由于DG、CF是平行四邊形一組鄰角的平分線，所以△EFG已經是直角三角形了，要成為等腰直角三角形，則必須有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC．
∴∠AGD=∠CDG，∠DCF=∠BFC．
∵DG、CF分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠CDG=∠ADG，∠DCF=∠BCF．
∴∠ADG=∠AGD，∠BFC=∠BCF
∴AD=AG，BF=BC．
∴AF=BG；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DG、CF分別平分∠ADC和∠BCD，
∴∠EDC+∠ECD=90°．
∴∠DEC=90°．
∴∠FEG=90°．
因此我們只要保證添加的條件使得EF=EG就可以了．
我們可以添加∠GFE=∠FGD，
四邊形ABCD為矩形，DG=CF等等．
點評：此題考查了平行四邊形的基本性質，以及直角三角形的判定，難易程度適中．