Question

【題目】如圖1，已知□ABCD，AB//x軸，AB=6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3,4），點(diǎn)B在第四象限，點(diǎn)P是□ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）若點(diǎn)P在邊BC上，PD=CD，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
（2）若點(diǎn)P在邊AB，AD上，點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q落在直線y=x-1上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
（3）若點(diǎn)P在邊AB，AD，CD上，點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn)，如圖2，過點(diǎn)P作y軸的平行線PM，過點(diǎn)G作x軸的平行線GM，它們相交于點(diǎn)M，將△PGM沿直線PG翻折，當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出答案）.

Answer 1

【答案】
（1）

解：在□ABCD中， CD=AB=6，

所以點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,4）.

（2）

解：①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí)，

由已知得，直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x-2，

設(shè)P（a,-2a-2），且-3≤a≤1，

若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q1（a,2a+2）在直線y=x-1上，

所以2a+2=a-1，解得a=-3，此時(shí)P（-3,4）。

若點(diǎn)Ｐ關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)Q2（-a,-2a-2）在直線y=x-1上，

所以-2a-2=-a-1，解得a=-1，此時(shí)P（-1,0）.

②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，設(shè)P（a,-4）,且1≤a≤7，

若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q3（a，4）在直線y=x-1上，

所以4=a-1，解得a=5,此時(shí)P（5，-4）.

若點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)Q4（-a,-4）在直線y=x-1上，

所以-4=-a-1，解得a=3,此時(shí)P（3，-4）.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）.

（3）

解：因?yàn)橹本€AD為y=-2x-2，所以G（0,-2）.

①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時(shí)，可設(shè)P（m，4）,且-3≤m≤3,

則可得M′P=PM=4+2=6,M′G=GM=|m|，

易證得△OGM′~△HM′P，

則 ,

即 ，

則OM′= ，

在Rt△OGM′中，

由勾股定理得， ，

解得m= 或 ，

則P（ ，4）或（ ，4）；

②如下圖，當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí)，設(shè)P（m,-2m-2）,

則PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|,

易證得△OGM′~△HM′P，

則 ,

即 ，

則OM′= ，

在Rt△OGM′中，

由勾股定理得， ，

整理得m= ,

則P（ ，3）；

如下圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，設(shè)P（m，-4），

此時(shí)M′在y軸上，則四邊形PM′GM是正方形，

所以GM=PM=4-2=2，

則P（2，-4）.

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-4）或（ ，3）或（ ，4）或（ ，4）.

【解析】（1）點(diǎn)P在BC上，要使PD=CD，只有P與C重合；（2）首先要分點(diǎn)P在邊AB，AD上時(shí)討論，根據(jù)“點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)Q”，即還要細(xì)分“點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q和點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q”討論，根據(jù)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱點(diǎn)的特征（關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變成相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，相反；）將得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入直線y=x-1，即可解答；（3）在不同邊上，根據(jù)圖象，點(diǎn)M翻折后，點(diǎn)M’落在x軸還是y軸，可運(yùn)用相似求解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分，以及對(duì)翻折變換（折疊問題）的理解，了解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等．