【題目】如圖1,已知□ABCD,AB//x軸,AB=6,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-4),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3,4),點(diǎn)B在第四象限,點(diǎn)P是□ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)若點(diǎn)P在邊BC上,PD=CD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)P在邊AB,AD上,點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q落在直線y=x-1上,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)若點(diǎn)P在邊AB,AD,CD上,點(diǎn)G是AD與y軸的交點(diǎn),如圖2,過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線PM,過(guò)點(diǎn)G作x軸的平行線GM,它們相交于點(diǎn)M,將△PGM沿直線PG翻折,當(dāng)點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出答案).
【答案】
(1)
解:在□ABCD中, CD=AB=6,
所以點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4).
(2)
解:①當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí),
由已知得,直線AD的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x-2,
設(shè)P(a,-2a-2),且-3≤a≤1,
若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q1(a,2a+2)在直線y=x-1上,
所以2a+2=a-1,解得a=-3,此時(shí)P(-3,4)。
若點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q2(-a,-2a-2)在直線y=x-1上,
所以-2a-2=-a-1,解得a=-1,此時(shí)P(-1,0).
②當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí),設(shè)P(a,-4),且1≤a≤7,
若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q3(a,4)在直線y=x-1上,
所以4=a-1,解得a=5,此時(shí)P(5,-4).
若點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q4(-a,-4)在直線y=x-1上,
所以-4=-a-1,解得a=3,此時(shí)P(3,-4).
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4).
(3)
解:因?yàn)橹本AD為y=-2x-2,所以G(0,-2).
①如圖,當(dāng)點(diǎn)P在CD邊上時(shí),可設(shè)P(m,4),且-3≤m≤3,
則可得M′P=PM=4+2=6,M′G=GM=|m|,
易證得△OGM′~△HM′P,
則 ,
即 ,
則OM′= ,
在Rt△OGM′中,
由勾股定理得, ,
解得m= 或 ,
則P( ,4)或( ,4);
②如下圖,當(dāng)點(diǎn)P在AD邊上時(shí),設(shè)P(m,-2m-2),
則PM′=PM=|-2m|,GM′=MG=|m|,
易證得△OGM′~△HM′P,
則 ,
即 ,
則OM′= ,
在Rt△OGM′中,
由勾股定理得, ,
整理得m= ,
則P( ,3);
如下圖,當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí),設(shè)P(m,-4),
此時(shí)M′在y軸上,則四邊形PM′GM是正方形,
所以GM=PM=4-2=2,
則P(2,-4).
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-4)或( ,3)或( ,4)或( ,4).
【解析】(1)點(diǎn)P在BC上,要使PD=CD,只有P與C重合;(2)首先要分點(diǎn)P在邊AB,AD上時(shí)討論,根據(jù)“點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)Q”,即還要細(xì)分“點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q和點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q”討論,根據(jù)關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征(關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)時(shí),點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變成相反數(shù);關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)時(shí),相反;)將得到的點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入直線y=x-1,即可解答;(3)在不同邊上,根據(jù)圖象,點(diǎn)M翻折后,點(diǎn)M’落在x軸還是y軸,可運(yùn)用相似求解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行;平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對(duì)角線互相平分,以及對(duì)翻折變換(折疊問(wèn)題)的理解,了解折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換,它屬于軸對(duì)稱(chēng),對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和角相等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=﹣2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(﹣2,a),點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′在反比例函數(shù)(k≠0)的圖象上.
(1)求a的值;
(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)P′的坐標(biāo);
(3)求反比例函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠BAC=60°,AC與BC交于點(diǎn)O,E為CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且CD=DE,連接BE分別交AC、AD于點(diǎn)F、G,連接OG,則下列結(jié)論中一定成立的是 . (把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上) ①OG= AB;
②與△EGD全等的三角形共有5個(gè);
③S四邊形CDGF>S△ABF;
④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊DC、BC上,AG⊥EF且 AG=AB,垂足為G,則:
(1)△ABF與△ AGF全等嗎?說(shuō)明理由;
(2)求∠EAF的度數(shù);
(3)若AG=4,△AEF的面積是6,求△CEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在學(xué)習(xí)三角形中位線的性質(zhì)時(shí),小亮對(duì)課本給出的解決辦法進(jìn)行了認(rèn)真思考:
課本研究三角形中位線性質(zhì)的方法
已知:如圖①,已知△ABC中,D,E分別是AB,AC兩邊中點(diǎn).求證:DE∥BC,DE=BC.
證明:延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F,使EF=DE,連接FC.…則△ADE≌△CFE.∴…
請(qǐng)你利用小亮的發(fā)現(xiàn)解決下列問(wèn)題:
(1)如圖③,AD是△ABC的中線,BE交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,且AE=EF,求證:AC=BF.
請(qǐng)你幫助小亮寫(xiě)出輔助線作法并完成論證過(guò)程:
(2)解決問(wèn)題:如圖⑤,在△ABC中,∠B=45°,AB=10,BC=8,DE是△ABC的中位線.過(guò)點(diǎn)D,E作DF∥EG,分別交BC于點(diǎn)F,G,過(guò)點(diǎn)A作MN∥BC,分別與FD,GE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,N,則四邊形MFGN周長(zhǎng)的最小值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,D為邊BC上一點(diǎn),以AB,BD為鄰邊作平行四邊形ABDE,連接AD,EC.
(1)求證:△ADC≌△ECD;
(2)當(dāng)點(diǎn)D在什么位置時(shí),四邊形ADCE是矩形,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別是(8,0),(0,4),反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)P并且與AB、BC分別交于D、E兩點(diǎn),連接OD、OE、DE,則△ODE的面積為( 。
A. 14 B. 12 C. 15 D. 8
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