Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，四邊形ABDE是平行四邊形．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）若AC、DE交于點O，四邊形ADCE的面積為，CD=4，求∠AOD的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．
∵D為BC中點，
∴CD=BD．
∴CD∥AE，CD=AE．
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
∵AB=AC，D為BC中點，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形．

（2）解：∵平行四邊形ADCE是矩形，四邊形ADCE的面積為，CD=4，
∴AD•CD=4AD=16，DO=AO=CO=EO，
解得：AD=4，
∴tan∠DAC===，
∴∠DAC=30°，
∴∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°．
分析：（1）已知四邊形ABDE是平行四邊形，只需證得它的一個內角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底邊的中線，根據等腰三角形三線合一的性質即可證得∠ADC是直角，由此得證．
（2）根據矩形的性質得出AD的長度，進而得出∠DAC=30°即可求出答案．
點評：此題主要考查了矩形的判定與性質以及等腰三角形三線合一的性質以及銳角三角函數(shù)關系等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題關鍵．