Question

【題目】如圖1，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．
（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在A(yíng)B、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求出它的度數(shù)．
（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線(xiàn)AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn)AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，則求出它的度數(shù)．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ與△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°
（3）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線(xiàn)AB、BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°．
【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=120°．