Question

（10分）如圖以O為圓心的兩個同心圓，AB經(jīng)過圓心O，且與小圓相交于點A，與大圓相交于點B，小圓的切線AC與大圓相交于點D，且OC平分∠ACB．

【小題1】⑴試判斷BC所在的直線與小圓的位置關系，并說明理由；
【小題2】⑵試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關系，并說明理由；
【小題3】⑶若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積

Answer 1

【小題1】相切，過O作OE⊥BC交BC交E得用角平分線性質(zhì)證OE＝OA
【小題2】⑵BC＝AC＋AD，連OD證△AOD≌△EOB
【小題3】⑶可得AC＝6，由⑵得BE＝4，S_{環(huán)形面積}＝π(OB²－OE²)＝16π

解析考點：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理。
分析：
（1）只要證明OE垂直BC即可得出BC是小圓的切線，即與小圓的關系是相切。
（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，從而得出EB=AD，從而得到三者的關系是前兩者的和等于第三者。
（3）根據(jù)大圓的面積減去小圓的面積即可得到圓環(huán)的面積。
解答：

（1）BC所在直線與小圓相切。理由如下：
過圓心O作OE⊥BC，垂足為E；
∵AC是小圓的切線，AB經(jīng)過圓心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直線是小圓的切線。
（2）AC+AD=BC。理由如下：
連接OD，
∵AC切小圓O于點A，BC切小圓O于點E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD與Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB，
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD。
（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，
∴AC=6cm；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC-AC=4cm，
∵圓環(huán)的面積為：S=π（OD）²-π（OA）²=π（OD²-OA²），
又∵OD²-OA²=AD²，
∴S=4²π=16π（cm²）。