Question

【題目】在中，,

（1）如圖，是上的點，過點作直線截，使截得的三角形與相似．例如：過點作交于，則截得的與相似．請你在圖中畫出所有滿足條件的直線．

（2）如圖，是上異于點，的動點，過點作直線截，使截得的三角形與相似，直接寫出滿足條件的直線的條數(shù)．（不要求畫出具體的直線）

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

(1)利用平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似的判定定理過點P作兩條，再利用兩組對應角相等的兩個三角形相似的判定定理，過點P作兩條.

(2)把Q點看成從C點出發(fā)到B點的動點，發(fā)現(xiàn)當Q點在某一個位置時，所作截的三角形與原三角形相似的數(shù)量減少了一個，通過此時的臨界條件把QC的長度計算出來，進行分類說明.

（1）如圖所示：

第一種：利用平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似的判定定理，過點P分別做AB與BC的平行線PD與PE.分別得到△ADP∽△ABC. △PCE∽△ACB.

第二種：利用兩組對應角相等的兩個三角形相似的判定定理，過P分別做PG垂直AB于點G，做PF交BC于點F，使∠PFC=∠A.分別得到△AGP∽△ACB, △FPC∽△ACB.

（2）

如圖所示，假設點Q從點C開始往點B移動，由（1）可知，作QD⊥AB，

得△BQD∽△BAC.作QF交AC于點F，使∠QFC=∠B，得△QCF∽△ACB.

作QE∥AC，得△BQE∽△BCA.作QG∥AB，得△QCG∽△BCA.

當移動到位置時，此時出現(xiàn)點F于點A重合，此時是一個臨界點，利用△QCF∽△ACB得到，則又此時CA=CF，所以QC=

該點往左移動，不能在三角形ABC內(nèi)做出作QF交AC于點F，該點往右移動，可以在三角形ABC內(nèi)做出作QF交AC于點F，使△QCF∽△ACB.

故當0＜QC≤時，滿足條件的直線有4條；

當＜QC＜6時，滿足條件的直線有3條．