Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，點(diǎn)E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）求證：AE是⊙O的切線；

（3）當(dāng)BC=4時(shí)，求劣弧AC的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)圓周角定理，即可求得∠ABC的度數(shù)；

（2）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，則可得AE是⊙O的切線；

（3）首先連接OC，易得△OBC是等邊三角形，則可得∠AOC=120°，由弧長公式，即可求得劣弧AC的長．

試題解析：（1）∵∠ABC與∠D都是弧AC所對的圓周角，∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切線；

（3）如圖，連接OC，∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，∴劣弧AC的長為= ．